/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom podstawowy 30 marca 2019 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczby a i c są dodatnie. Liczba b stanowi 96% liczby 3a + b oraz 120% liczby 4a + c . Wynika stąd, że
A) c = 67 ,2a B) c = 80,64a C) c = 56a D) c = 4 8a

Zadanie 2
(1 pkt)

Wskaż liczbę spełniającą nierówność (x−2)(x+ 3)(2−x) --(3−-2x)(4x+6)--< 0 .
A) − 2 B) − 3 C) 5 D) − 1

Zadanie 3
(1 pkt)

Dane są liczby a = 4,5⋅2 0−41 oraz b = 7,5 ⋅80−14 . Wtedy iloraz a b jest równy
A) − 27 0,6 ⋅40 B) −27 1,2⋅1 0 C) 0,6 ⋅4027 D) 0,3⋅1 027

Zadanie 4
(1 pkt)

Dane są liczby a = log 13, b = log9 27, c = lo g3 19 3 . Liczby te spełniają warunek
A) a > b > c B) b > a > c C) c > b > a D) b > c > a

Zadanie 5
(1 pkt)

Liczba ∘5-√4--- 3 3 jest równa
A) √ -- 20 3 B) √ -- 3 93 C) √53- D) √43-

Zadanie 6
(1 pkt)

Wyrażenie |− 1− |x || dla x < 0 jest równe
A) x − 1 B) x + 1 C) − x − 1 D) − x + 1

Zadanie 7
(1 pkt)

Równanie x2−-3x x2+ 3x = 0
A) ma trzy rozwiązania: x = − 3 , x = 0 , x = 3
B) ma jedno rozwiązanie: x = 3
C) ma dwa rozwiązania: x = − 3, x = 3
D) ma dwa rozwiązania: x = 0, x = 3

Zadanie 8
(1 pkt)

Na rysunku jest przedstawiona graficzna ilustracja układu trzech równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi x i y .

PIC

Wskaż ten układ
A) ( |{ y = − 2x + 8 y = − 3x + 13 |( 2 2 y = 3x + 2 B) ( |{ y = 2x + 5 y = − 2x − 17 |( 3 3 y = − 2x − 11 C) (| y = x − 1 { y = − 12x − 12 |( y = − 3x − 5 D) ( |{ y = 3x + 7 y = − 2x − 4 |( 2 3 y = 3x − 2

Zadanie 9
(1 pkt)

Liczba ---16√---- (4−3 2)4 jest równa
A) √ -- (4 − 3 2)4 B) √ -- (4 + 3 2)4 C) √ --4 − (4+ 3 2) D) (4− 3√2)4 --256---

Zadanie 10
(1 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem −2 3 f(x) = − 3(x − 2) (x + 1) dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 2 . Wartość funkcji f dla argumentu − 2 jest równa
A) − 16 3 B) − -3 16 C) 16 -3 D) 3 16

Zadanie 11
(1 pkt)

Punkt (√ -- ) 3,1 należy do wykresu funkcji y = 2√ 3x + b . Wtedy współczynnik b jest równy
A) 7 B) √ -- 3 3 C) − 5 D) √ -- − 3

Zadanie 12
(1 pkt)

Ciąg (an) określony jest wzorem an = n(n2 − (n − 1)(n + 1)) , gdzie n ≥ 1 . Suma piętnastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A) 240 B) 105 C) 120 D) 136

Zadanie 13
(1 pkt)

Wykres funkcji 2 f (x) = x + x + 1 przesunięto o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę w górę. W wyniku tej operacji otrzymano wykres funkcji
A) y = x2 + 3x+ 4 B) y = x 2 − 3x + 2
C) 2 y = x − 3x + 4 D) 2 y = x + 3x+ 2

Zadanie 14
(1 pkt)

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (an) określonego dla n ≥ 1 są dodatnie i 2a5 = 3a 6 . Stąd wynika, że iloraz q tego ciągu jest równy
A) q = 23 B) q = 32 C) q = 6 D) q = 5

Zadanie 15
(1 pkt)

Dany jest trójkąt o bokach długości √- √- -3, 2, 2-3 3 3 3 . Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości
A) √ -- √ -- 3, 3, 2 3 B) √ -- 1, 2 3, 2 C) √ - √ - --2, 2, 2-2 3 3 3 D) 1, 1√-, 1 2 3

Zadanie 16
(1 pkt)

Pole koła przedstawionego na rysunku jest równe

PIC

A) √ -- 6 2π B) 36π C) 18 π D) √ -- 12 2π

Zadanie 17
(1 pkt)

Liczba |tg 52∘ − 2co s50∘|⋅ |2 cos5 0∘ + tg 52∘| jest równa
A) 4 cos250∘ − tg2 52∘ B) tg2 52∘ + 4co s250∘
C) 2 ∘ 2 ∘ tg 52 − 4co s 50 D) 2 ∘ 2 ∘ − 4 cos 5 0 − tg 52

Zadanie 18
(1 pkt)

Różnica miar dwóch kątów rozwartych trapezu jest równa ∘ 68 . Dodatnia różnica miar kątów ostrych tego trapezu jest więc równa
A) 112 ∘ B) 136∘ C) 68 ∘ D) 34∘

Zadanie 19
(1 pkt)

Prosta ax+ y+ 1 = 0 jest równoległa do prostej x+ ay + 1 = 0 . Wtedy
A) a = 0 B) a = − 2 C) a = 2 D) 2 a = 1

Zadanie 20
(1 pkt)

Dany jest walec, w którym promień podstawy, wysokość i średnica podstawy są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe √-8π- 2−1 . Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy
A) 9 B) 6 C) 3 D) 2

Zadanie 21
(1 pkt)

Punkt A = (− 3,4 ) jest końcem odcinka AB , a punkt M = (− 5,5) jest takim punktem tego odcinka, że |AM | : |MB | = 1 : 4 . Długość odcinka AB jest równa
A) √ -- 4 5 B) √ -- 5 C) √ -- 5 5 D) √ -- 3 5

Zadanie 22
(1 pkt)

Przekątna prostokątna ma długość 6, a długość jego krótszego boku jest równa √ -- 2 3 . Kąt rozwarty α między przekątnymi tego prostokąta spełnia warunek
A) α ∈ (70 ∘,80∘) B) α ∈ (12 0∘,140∘) C) ∘ ∘ α ∈ (100 ,120 ) D) ∘ ∘ α ∈ (9 0 ,100 )

Zadanie 23
(1 pkt)

Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa połowie długości jego krawędzi podstawy. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

PIC

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A) 30∘ B) 4 5∘ C) 60∘ D) 75∘

Zadanie 24
(1 pkt)

W zestawie 1,1,1,...,1,3,3,3,...,3 ◟---◝◜----◞ ◟----◝◜---◞ mliczb m liczb jest 2m liczb (m ≥ 1 ), w tym m liczb 1 i m liczb 3. Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe
A) 1 B) 2 C) 1 √2- D) √ 2-

Zadanie 25
(1 pkt)

W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwa razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru czarnego, jest równe
A) -1 16 B) 3 8 C) 1 4 D) 3 4

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność 2 36 1x + 798x + 441 > 0 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Rozwiąż równanie ( 3 ) ( 2 5 ) (x+ 2) + 216 (x − x) − 32 = 0 .

Zadanie 28
(2 pkt)

Wykaż, ze dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność x2+y-4 2 2 ≥ x+ y − 1 .

Zadanie 29
(2 pkt)

Na bokach AB ,BC ,CA trójkąta równobocznego ABC wybrano kolejno punkty D,E ,F tak, że DE ⊥ AB , EF ⊥ BC i FD ⊥ AC .

PIC

Wykaż, że trójkąt DEF jest trójkątem równobocznym o polu trzy razy mniejszym od pola trójkąta ABC .

Zadanie 30
(2 pkt)

Udowodnij, że jeżeli liczby b,d,b + d,b − d są różne od zera oraz a+b+cd--= ab−−cd- , to ab = cd .

Zadanie 31
(2 pkt)

Dwudziesty wyraz ciągu arytmetycznego (an) , określonego dla n ≥ 1 , jest równy 395, a suma jego dwudziestu początkowych wyrazów jest równa 8930. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Zadanie 32
(4 pkt)

Trasa rowerowa wokół jeziora ma długość 12 kilometrów. Dwóch rowerzystów wyrusza z tego samego miejsca i okrąża jezioro w tym samym kierunku. Średnia prędkość jednego z nich jest o 4 km/h mniejsza niż prędkość drugiego rowerzysty. Do ponownego spotkania rowerzystów doszło, gdy szybszy z nich wykonał 4 okrążenia jeziora. Jakie były średnie prędkości rowerzystów?

Zadanie 33
(4 pkt)

Punkty A = (4,6) i B = (− 12,6) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AB | = |AC | . Wysokość AD tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu 1 y = 2 x+ 4 . Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta.

Zadanie 34
(5 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy √ - 2--7 7 . Wykaż, że pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa stanowi 2 3 jego pola powierzchni całkowitej.

PIC

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania