/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Dowody w geometrii trygonometria poziom rozszerzony

Zadanie 1

W półkole o promieniu wpisano trapez równoramienny. Przekątna trapezu o długości tworzy z dłuższą podstawą kąt o mierze , a krótsza podstawa trapezu ma długość . Uzasadnij, że cos α = a+-2r 2k .

Zadanie 2

Przekątna trapezu równoramiennego tworzy z dłuższą podstawą kąt , a z ramieniem kąt . Wykaż, że stosunek pól trójkątów, na które został podzielony trapez tą przekątną, jest równy sinsin5αα .

Zadanie 3

Wykaż, że jeśli α,β są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego, to tg α + tgβ ≥ 2 .

Zadanie 4

Pole trapezu równoramiennego opisanego na okręgu jest równe , a kąt ostry przy podstawie ma miarę . Wykaż, że ramię tego trapezu ma długość ∘ ---- sSinα- .

Zadanie 5

Wykaż, że jeżeli kąty α,β,γ trójkąta ABC spełniają warunek cos α = 1−-cosγ- 2cosβ to trójkąt jest równoramienny.

Zadanie 6

W trójkącie ostrokątnym ABC bok ma długość , długość boku jest równa oraz |∡BAC | = α . Dwusieczna kąta BAC przecina bok trójkąta w punkcie i odcinek ma długość . Wykaż, że

α d d co s--= ---+ --. 2 2b 2c

Zadanie 7

Wykaż, że jeżeli w trójkącie a √ -- b = 2 to 2 2 cos α = 2co s β − 1 .

Zadanie 8

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości |AC | = b,|BC | = a , a wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego ma długość .

Wykaż, że jeżeli b2 = a⋅h to √- cos ∡BAC = -5−2-1 .

Zadanie 9

Wykaż, że jeżeli i są kątami trójkąta oraz 2 2 2 sin α = sin β + sin (α + β) to trójkąt ten jest prostokątny.

Zadanie 10

W trójkącie ABC środkowa jest prostopadła do boku . Kąt BAC ma miarę ∘ 120 . Wykaż, że |AB | = 2|AC | .

Zadanie 11

W czworokącie wypukłym ABCD (zobacz rysunek poniżej) dane są kąty: ∘ |∡ADC | = |∡ABC | = 90 oraz ∘ |∡DCB | = 135 . Wykaż, że |DB-| √2- |AC | = 2 .

Zadanie 12

Kąty w trójkącie mają miary: α, β = 2α, γ = 4α . Wykaż, że długości boków a, b, c tego trójkąta spełniają równość: 1 1 1 a − b − c = 0 .

Zadanie 13

Wykaż, że jeżeli promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym jest dwa razy dłuższy od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, to trójkąt ten jest równoboczny.

Wersja PDF