/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony
(technikum) 7 marca 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(5 pkt)
  • Narysuj wykresy funkcji y = ||x+ 3|− 2 | oraz y = − |x + 1| , gdzie x ∈ R .
  • Wyznacz te wartości parametru m , dla których równanie ||x + 3| − 2|+ |x + 1 | = m ma dokładnie dwa rozwiązania.

Zadanie 2
(4 pkt)

Przez środek okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny ABC poprowadzono prostą równoległą do boku BC i przecinającą bok AB w punkcie D . Oblicz iloraz |DC| |DB| .

Zadanie 3
(4 pkt)

Dla jakich wartości parametru m ∈ R wierzchołek paraboli 2 y = x + 2(m + 1)x + m − 4 leży najbliżej prostej y = − 4 ?

Zadanie 4
(4 pkt)

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają równość a 2 + b2 + c2 = ab + bc + ca to a = b = c .

Zadanie 5
(5 pkt)

Wykaż, że jeżeli α ,β ,γ są kątami ostrymi i -1- sin α = √ 5 , -1-- sin β = √26 , -1-- sinγ = √ 65 to α + β + γ = 45∘ .

Zadanie 6
(5 pkt)

Przyprostokątna AB trójkąta prostokątnego ABC jest zawarta w prostej o równaniu 2y + x + 6 = 0 , a środek jego przeciwprostokątnej BC ma współrzędne S = (9,0) . Oblicz współrzędne wierzchołka C jeżeli 3√10- co s∡ACB = 10 .

Zadanie 7
(4 pkt)

W skończonym ciągu geometrycznym (an) wyraz pierwszy jest równy 2, a wyraz ostatni 39 366. Wiedząc, że suma wszystkich wyrazów wynosi 59 048, oblicz iloraz tego ciągu.

Zadanie 8
(5 pkt)

Proste k,l,m są parami różne i równoległe. Na prostych tych wybrano zbiór S składający się z 3n punktów (n ≥ 3 ), przy czym na każdej z prostych wybrano n punktów. Wiadomo ponadto, że jeżeli trzy punkty zbioru S leżą na jednej prostej, to prostą tą jest k ,l lub m . Oblicz ile jest trójkątów o wierzchołkach należących do zbioru S .

Zadanie 9
(5 pkt)

Suma długości krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Dla jakiej długości krawędzi podstawy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa będzie największe?

Zadanie 10
(6 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt ABC , w którym |AB | = 4, |BC | = 6, |CA | = 8 . Wszystkie ściany boczne tworzą z płaszczyzną podstawy kąt 60∘ . Oblicz objętość ostrosłupa.

Zadanie 11
(3 pkt)

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków AB i CD . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD . Uzasadnij, że MQ ∥ PN .

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania