/Szkoła średnia/Zadania maturalne
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 15 kwietnia 2023 Czas pracy: 180 minut
Ciąg jest określony dla każdej liczby naturalnej
wzorem

gdzie jest liczbą rzeczywistą. Oblicz wartość
, dla której granica ciągu
jest równa
.
W firmie zatrudniającej 390 pracowników sporządzono zestawienie wszystkich pracowników w wieku przedemerytalnym i okazało się, że wśród nich jest 96 mężczyzn i 45 kobiet. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany mężczyzna pracujący w tej firmie jest w wieku przedemerytalnym jest równe 0,4. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany pracownik tej firmy jest w wieku przedemerytalnym – pod warunkiem, że jest to kobieta.
Funkcja jest określona wzorem
dla każdej liczby rzeczywistej
. Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie
.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej oraz dla każdej liczby rzeczywistej
, spełniających warunek
, prawdziwa jest nierówność

Iloczyn wszystkich wyrazów ciągu danego wzorem

jest równy . Oblicz
.
W trójkącie na boku
wybrano takie punkty
i
, że

Przez punkty i
poprowadzono proste równoległe do boków odpowiednio
i
. Proste te przecięły się w punkcie
. Wykaż, że odcinek
jest zawarty w środkowej trójkąta
.
Rozwiąż równanie w przedziale
.
Informacja do zadań 8.1 i 8.2
W parku krajobrazowym znajduje się zbiornik wodny, którego dwa brzegi postanowiono połączyć pomostem. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej zbiornika w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą fragmentów wykresów funkcji
oraz
, które odpowiadają przeciwległym brzegom zbiornika (zobacz rysunek).

Funkcje oraz
są określone wzorami
oraz
. Jeden z końców pomostu postanowiono zlokalizować na brzegu opisanym funkcją
w punkcie o współrzędnych
.
Niech będzie punktem leżącym na wykresie
. Wykaż, że odległość punktu
od punktu
wyraża się wzorem

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu
.
Koniec pomostu należy umieścić na brzegu opisanym funkcją . Oblicz współrzędne punktu
, w którym należy zlokalizować koniec pomostu, aby jego długość (tj. odległość końca
pomostu od początku
) była możliwie najmniejsza. Oblicz długość najkrótszego pomostu.
Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu leżącego na wykresie funkcji
od punktu
wyraża się wzorem

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu
.
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o podstawie
i polu powierzchni bocznej równym
. Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka
ma miarę
. Objętość tego ostrosłupa jest równa
, gdzie
jest stałym współczynnikiem liczbowym. Oblicz współczynnik
.
Rozwiąż nierówność

Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: ,
,
,
, gdzie liczba rzeczywista
spełnia warunki:
i
. Wyznacz wszystkie wartości parametru
, dla których pole tego równoległoboku jest równe 20.
W okrąg o średnicy 16,25 wpisano trójkąt ostrokątny , w którym
. Miary kątów
i
tego trójkąta spełniają warunek

Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt .