Zadanie nr 3717304
W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisano sześcian tak, że jego cztery wierzchołki należą do wysokości ścian bocznych ostrosłupa, a pozostałe do płaszczyzny podstawy. Oblicz stosunek objętości ostrosłupa do objętości sześcianu jeżeli kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy .
Rozwiązanie
Oznaczmy przez długość krawędzi podstawy ostrosłupa, a przez
długość krawędzi sześcianu.
Z trójkąta prostokątnego obliczamy wysokość ostrosłupa

Zauważmy jeszcze, że

Sposób I
Patrzymy na trójkąt prostokątny .

Możemy teraz obliczyć interesujący nas stosunek objętości

Sposób II
Tym razem korzystamy z podobieństwa trójkątów i
. Mamy zatem

Stosunek objętości obliczamy tak samo jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedź: