Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1010737

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD (patrz rysunek).


PIC


Krawędź AS jest wysokością tego ostrosłupa. Odległość punktu B od krawędzi CS jest równa d , a kąt dwuścienny między ścianami BCS i CDS ma miarę 2 α , gdzie α ∈ ( π, π-) 4 2 . Oblicz:

  • odległość punktu A od krawędzi CS
  • wysokość tego ostrosłupa.
Wersja PDF
Rozwiązanie

Dorysujmy wysokości BE i DE w ścianach BCS i CDS opuszczone na krawędź CS .


PIC


Od razu zauważmy, że krawędź CS jest prostopadła do dwóch prostych w płaszczyźnie DBE , jest więc prostopadła do całej płaszczyzny. W szczególności jeżeli O jest środkiem kwadratu w podstawie to OE ⊥ CS (bo OE leży w płaszczyźnie DBE ). Ponadto, ponieważ płaszczyzna DBE jest prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego między ścianami BCS i CDS , mamy

∡DEB = 2 α.

Wiemy też z treści, że

BE = DE = d .
  • Poprowadźmy wysokość AF w trójkącie ACS . Długość tej wysokości to dokładnie odległość punktu A od krawędzi CS . Jak już wcześniej zauważyliśmy, OE ⊥ CS , czyli odcinki AF i OE są równoległe. To oznacza, że AF = 2OE (bo AC = 2OC ). Długość odcinka OE możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego OBE .
    OE--= cosα ⇒ OE = d cosα . EB

    Zatem

    AF = 2OE = 2d cos α.

     
    Odpowiedź: 2d cosα

  • Zauważmy, że trójkąty ACS i ECO są oba prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku C , są więc podobne. Zatem
    AS--= EO-- ⇒ AS = EO--⋅AC . AC EC EC

    Wiemy już, że EO = dco sα , ponadto

    OB ----= sin α ⇒ AC = 2OC = 2OB = 2d sinα . EB

    Pozostało jeszcze wyliczyć EC . Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie EOC .

     ∘ ----2------2 ∘ --2---2-----2----2-- √ --------- EC = OC − OE = d sin α − d cos α = d − co s2α

    (wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie, bo  ( ) α ∈ π4, π2 ). Mamy więc

     EO dco sα dsin 2α AS = ----⋅AC = -√----------⋅ 2dsin α = √----------. EC d − cos2α − cos2α

     
    Odpowiedź: √-dsin2α-- − cos2α

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!