Podstawą ostrosłupa jest romb, którego przekątne mają długości... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Czworokątny, 1066525

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Dowolny

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworokątny

Zadanie nr 1066525

Podstawą ostrosłupa jest romb, którego przekątne mają długości 12 i 16. Spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się z punktem przecięcia przekątnych rombu w podstawie, a pole powierzchni bocznej jest równe 104. Oblicz objętość ostrosłupa.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Niech $F$ będzie punktem przecięcia przekątnych rombu. Ponieważ przekątne rombu dzielą się na połowy i są prostopadłe, trójkąt $AF D$ jest prostokątny oraz

∘ ------------ √ -------- AD = AF 2 + FD 2 = 64 + 36 = 10.

Niech $E$ będzie rzutem punktu $F$ na krawędź $AD$ . Płaszczyzna $EF S$ jest prostopadła do prostej $AD$ (bo zawiera dwie proste: $EF$ i $SF$ prostopadłe do tej krawędzi), więc odcinki $F E$ i $SE$ są wysokościami odpowiednio w trójkątach $AF D$ i $ADS$ .

Długość odcinka $EF$ możemy wyliczyć porównując dwa wzory na pole trójkąta prostokątnego $AF D$ .

1- 1- 2 ⋅AF ⋅DF = 2 ⋅AD ⋅EF 1 1 --⋅8 ⋅6 = --⋅1 0⋅EF 2 2 EF = 24-. 5

Ponieważ ściany boczne są przystające (bo $AS = CS$ i $BS = DS$ ), z podanego pola powierzchni bocznej możemy obliczyć długość wysokości $ES$ ściany bocznej