Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3231435

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest czworokąt wypukły ABCD , w którym |AB | = 7, |AD | = 5 oraz co s∡DAB = 45 . Każda z krawędzi bocznych ostrosłupa ma długość  √ - 3--6 2 . Oblicz wysokość ostrosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Zauważmy, że jeżeli SO jest wysokością ostrosłupa to każdy z trójkątów SOA ,SOB ,SOC i SOD jest prostokątny i każde dwa z nich mają tę samą długość przeciwprostokątnej oraz jednej z przyprostokątnych (dokładnie: SO ). To oznacza, że trójkąty te są przystające, więc

AO = BO = CO = DO .

To z kolei oznacza, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg i punkt O jest środkiem tego okręgu. W takim razie do obliczenia wysokości (np. z trójkąta SOA ) brakuje nam długości promienia okręgu opisanego na czworokącie ABCD .

Zauważmy, że okrąg opisany na czworokącie ABCD jest też okręgiem opisanym na trójkącie ABD , więc jego promień możemy wyliczyć stosując twierdzenie sinusów w tym trójkącie. Tak się szczęśliwie składa, że mamy nawet podany cos∡A , więc do pełni szczęścia brakuje nam długości przekątnej BD . Tę długość możemy jednak wyliczyć stosując twierdzenie cosinusów.

Wszystko wiemy, więc liczymy – na początek długość przekątnej BD .

 2 2 2 BD = AB + AD − 2AB ⋅AD cos ∡A 2 4- BD = 49 + 25 − 2 ⋅7 ⋅5⋅ 5 = 4 9+ 2 5− 56 = 18 √ -- BD = 3 2 .

Teraz obliczamy sin ∡A

 ∘ ------------- ∘ ------- sin ∡A = 1− cos2∡A = 1 − 1-6 = 3- 2 5 5

(sinus jest dodatni dla kątów wypukłych). Teraz piszemy twierdzenie sinusów w trójkącie ABD .

--BD--- = 2R sin∡A √ -- √ -- BD 3 2 5 2 R = ---------= ---3-= ----. 2sin ∡A 2 ⋅5 2

Teraz piszemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie SOA .

 ┌ (------)----(------)-- ∘ ------------ ││ √ -- 2 √ -- 2 h = SO = AS 2 − AO 2 = ∘ 3--6- − 5--2- = 2 2 ∘ --√---------√----- √ -------- = 1- (3 6)2 − (5 2)2 = 1- 54 − 50 = 1. 2 2

 
Odpowiedź: h = 1

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!