Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6566476

Podstawą ostrosłupa jest romb, którego pole wynosi  2 800 cm , a kąt ostry rombu ma miarę 30∘ . Wysokość ostrosłupa jest równa 24 cm, a spodek tej wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę. Oblicz:

  • promień tego okręgu,
  • pole powierzchni bocznej ostrosłupa.
Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.


PIC


Zauważmy, że podanego pola i kąta ostrego rombu łatwo obliczyć długość jego boku (korzystając ze wzoru na pole z sinusem).

800 = P = a 2sin30∘ ⇒ a2 = 1600 ⇒ a = 40.

Promień okręgu wpisanego w romb to połowa jego wysokości, a wysokość łatwo obliczyć, gdy znamy pole i bok rombu.

 8-00-- 800 = P = 2r ⋅a ⇒ r = 2⋅4 0 = 10.

Jeżeli E jest środkiem okręgu wpisanego w romb w podstawie, a F jest rzutem punktu E na krawędź AB , to płaszczyzna SEF jest prostopadła do krawędzi AB (bo zawiera dwie proste: EF i SE prostopadłe do AB ). w takim razie SF jest wysokością ściany bocznej. Z trójkąta prostokątnego SEF mamy

 ∘ ----------- ∘ ---------- ∘ --------- √ ---- SF = SE 2 + EF 2 = 242 + 102 = 2 122 + 52 = 2 169 = 26.

Ponieważ spodek wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę, dokładnie w ten sam sposób możemy obliczyć wysokości pozostałych ścian bocznych, więc wszystkie te wysokości będą miały tę samą długość. Pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest więc równe

 1 4 ⋅--⋅a ⋅SF = 2⋅4 0⋅26 = 2080. 2

 
Odpowiedź: Promień: 10 cm, pole boczne: 20 80 cm 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!