/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworokątny

Zadanie nr 7828478

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest równoległobok ABCD o przekątnej długości √ --- 6 89 i bokach długości 32 i 34. Pole powierzchni bocznej jednej ze ścian bocznych ostrosłupa jest mniejsze od pola powierzchni sąsiedniej ściany bocznej i jest równe 1808. Spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się z punktem przecięcia przekątnych równoległoboku ABCD , a jego ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Oblicz długość krótszej z krawędzi bocznych ostrosłupa ABCDS .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Jeżeli przyjmiemy oznaczenia z rysunku, tzn. AB = CD = 32 i AD = BC = 34 , to zauważmy, że ściana ABS ma mniejsze pole niż ściana BCS . Tak jest, bo te dwa trójkąty są ostrokątne i mają dwa takie same boki: SA = SC i SB . W takim razie mniejsze pole ma ten z tych dwóch trójkątów, który ma mniejszy kąt przy wierzchołku S (ze wzoru na pole z sinusem). A mniejszy kąt ma trójkąt ASB , bo AB < BC i na mocy twierdzenia cosinusów mamy wtedy

cos ∡ASB > co s∡BSC .

W takim razie wiemy, że ściana ABS ma pole równe 1808. Jeżeli więc SE jest wysokością trójkąta ABS opuszczoną na AB , to

1- 1808- 18 08 = 2 ⋅AB ⋅SE = 16SE ⇒ SE = 16 = 113.

Popatrzmy teraz na równoległobok w podstawie. Łatwo sprawdzić, że trójkąt o bokach 32, 34 i 6 √ 89- jest rozwartokątny, więc podana długość przekątnej równoległoboku ABCD jest długością jego dłuższej przekątnej (na naszym rysunku przekątnej AC ). Możemy więc łatwo obliczyć cosinus kąta rozwartego równoległoboku – piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ABC .

AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2AB ⋅BC co sα 2 2 320 4 = 32 + 34 − 2⋅ 32⋅ 34cos α 102 4 8 cosα = − 2-⋅32⋅-34 = − 1-7.

To z kolei pozwala obliczyć długość drugiej przekątnej równoległoboku – piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ABD .

2 2 2 ∘ BD = AB + AD − 2 ⋅AB ⋅ AD cos(180 − α) 2 2 2 -8- BD = 3 2 + 3 4 − 2 ⋅32 ⋅34 ⋅17 2 BD = 1 024+ 1156 − 102 4 = 1156 ⇒ BD = 34.

To oznacza, że trójkąt ABD jest trójkątem równoramiennym i jego wysokość opuszczona z wierzchołka D ma długość

∘ -------(------)-- 1 2 ∘ ---------- √ ---- FE = AD 2 − --AB = 3 42 − 1 62 = 900 = 3 0. 2

Możemy teraz w końcu obliczyć wysokość ostrosłupa – patrzymy na trójkąt prostokątny SEO .

∘ ----------- ∘ ----------- √ ------ SO = SE 2 − EO 2 = 113 2 − 15 2 = 12544 = 112.

Pozostało obliczyć długość krawędzi SB – patrzymy na trójkąt prostokątny SOB .

∘ ------------ ∘ ----------- √ ------ SB = SO 2 + OB 2 = 1 122 + 172 = 128 33.

 
Odpowiedź: √ 128-33

Wersja PDF