Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9921746

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest czworokąt ABCD . Przekątna AC tego czworokąta ma długość  √ -- 5 2 , a kąt ADC ma miarę 13 5∘ . Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość 13. Oblicz sumę odległości spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi bocznych AS , BS , CS i DS .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od naszkicowania opisanej sytuacji.


PIC


Zauważmy jeszcze, że z informacji o tym, że wszystkie krawędzie boczne mają tę samą długość wynika, że trójkąty prostokątne AES ,BES ,CES i DES są przystające, więc AE = BE = CE = DE , co z kolei oznacza, że spodek E wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na czworokącie ABCD .

Skupmy się teraz na obliczeniu promienia R okręgu opisanego na czworokącie ABCD . Zrobimy to korzystając z twierdzenia sinusów w trójkącie ACD (bo okrąg opisany na czworokącie ABCD jest też okręgiem opisanym na trójkącie ACD ).

 AC AC AC 5√ 2- 2R = -------- = ----------------= -------= -√---= 10. sin 135∘ sin (180∘ − 45∘) sin45 ∘ -22

Zatem R = 5 . To pozwala obliczyć wysokość H ostrosłupa

 ∘ ---------- ∘ --------- √ ---- H = AS 2 − R2 = 132 − 52 = 144 = 12.

Niech F będzie rzutem spodka wysokości E na krawędź AS . Jak już zauważyliśmy wcześniej, trójkąty AES ,BES ,CES i DES są przystające, więc interesująca nas suma odległości punktu E od krawędzi bocznych jest równa 4EF . Długość odcinka EF obliczamy porównując dwa wzory na pole trójkąta prostokątnego AES .

AS ⋅ EF = 2PAES = AE ⋅SE AE ⋅SE 5 ⋅12 60 EF = -------- = ------= --. AS 13 13

Zatem  240 6- 4EF = 13 = 18 13 .  
Odpowiedź: 240 6 -13 = 18 13

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!