/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Długości boków

Zadanie nr 1869408

Okrąg o promieniu 4 jest wpisany w trójkąt. Punkt styczności podzielił jeden z boków na odcinki o długości 6 i 8. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Jeżeli AE = 8 i CE = CE = 6 , to AF = 8 i CD = 6 (odcinki stycznych do okręgu wpisanego w trójkąt). Możemy ponadto oznaczyć x = BD = BF .

Sposób I

Aby obliczyć x , porównamy dwa wzory na pole trójkąta. Jeden z tych wzorów to wzór Herona

∘ ----------------------- P = p(p − a)(p− b)(p − c)

na pole trójkąta o bokach długości a,b i c , gdzie a+b+c p = ---2-- jest połową obwodu trójkąta.

Drugi wzór to

P = pr,

gdzie r jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt.

W naszej sytuacji mamy r = 4 i

6+ x+ 6+ 8+ 8+ x p = ----------------------= 14 + x. 2

Stąd

∘ ----------------------- pr = P = p(p − a)(p − b )(p− c) /()2 16p 2 = p(p − 6 − x)(p − 6− 8 )(p− 8− x) / : p 16(14 + x ) = 8⋅ x⋅6 / : 16 14 + x = 3x ⇒ x = 7.

Boki trójkąta ABC mają więc długości

14 , 6 + x = 13, 8 + x = 15.

Sposób II

Tym razem skorzystamy z twierdzenia sinusów. Zauważmy najpierw, że

2 2 2 SA = AE + ES = 64 + 16 = 80 SC 2 = CE 2 + ES 2 = 36 + 16 = 52 .

Jeżeli teraz oznaczymy ∡A = α i ∡C = γ , to

4 8 4 ⋅8 2 sin α = sin 2∡EAS = 2 sin∡EAS cos ∡EAS = 2 ⋅----⋅----= ---- = -- SA SA 80 5 sin γ = sin 2∡ECS = 2 sin ∡ECS cos∡ECS = 2 ⋅-4- ⋅-6- = 4-⋅6 = -6-. SC SC 52 1 3

Korzystamy teraz z twierdzenia sinusów.

-BC-- -AB-- sin α = sin γ x-+-6-= x-+-8- 25 613 5x + 3 0 1 3x+ 104 -------- = ---------- / ⋅6 2 6 15x + 90 = 13x + 104 ⇒ 2x = 14 ⇒ x = 7.

Boki trójkąta ABC mają więc długości

14 , 6 + x = 13, 8 + x = 15.

 
Odpowiedź: 13, 14, 15

Wersja PDF