/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Długości boków

Zadanie nr 1978411

Promień okręgu opisanego na trójkącie ABC jest równy 17. Najdłuższym bokiem tego trójkąta jest bok AC , a długości dwóch pozostałych boków są równe |AB | = 30 oraz |BC | = 17 . Oblicz miarę kąta BAC oraz długość boku AC tego trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od schematycznego rysunku.


ZINFO-FIGURE


Miarę kąta α = ∡BAC obliczamy z twierdzenia sinusów.

BC---= 2R ⇒ sinα = BC--= -17---= 1-. sin α 2R 2⋅ 17 2

To oznacza, że α = 30∘ lub α = 150∘ . Druga możliwość oznaczałaby jednak, że najdłuższym bokiem trójkąta jest BC , co jest sprzeczne z treścią zadania. Zatem α = 30∘ .

Oznaczmy AC = x i napiszmy twierdzenie cosinusów.

 2 2 2 BC = AC + AB − 2AC ⋅ A√B-co sα 3 289 = x2 + 900 − 2 ⋅x ⋅30 ⋅---- √ -- 2 0 = x2 − 30 3⋅x + 61 1 2 Δ = 270√0−- 2444 = 25 6 = 16 √ -- 3 0 3− 16 √ -- 30 3 + 16 √ -- x = ----------- = 1 5 3− 8 lub x = -----------= 15 3+ 8 2 2

Pierwsze rozwiązanie jest mniejsze niż 30, a AC ma być najdłuższym bokiem trójkąta ABC , więc  √ -- x = 15 3+ 8 .  
Odpowiedź: ∡BAC = 30∘ ,  √ -- AC = 15 3 + 8

Wersja PDF
spinner