Zadanie nr 1978411
Promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy 17. Najdłuższym bokiem tego trójkąta jest bok
, a długości dwóch pozostałych boków są równe
oraz
. Oblicz miarę kąta
oraz długość boku
tego trójkąta.
Rozwiązanie
Zacznijmy od schematycznego rysunku.
Miarę kąta obliczamy z twierdzenia sinusów.
![BC---= 2R ⇒ sinα = BC--= -17---= 1-. sin α 2R 2⋅ 17 2](https://img.zadania.info/zad/1978411/HzadR2x.png)
To oznacza, że lub
. Druga możliwość oznaczałaby jednak, że najdłuższym bokiem trójkąta jest
, co jest sprzeczne z treścią zadania. Zatem
.
Oznaczmy i napiszmy twierdzenie cosinusów.
![2 2 2 BC = AC + AB − 2AC ⋅ A√B-co sα 3 289 = x2 + 900 − 2 ⋅x ⋅30 ⋅---- √ -- 2 0 = x2 − 30 3⋅x + 61 1 2 Δ = 270√0−- 2444 = 25 6 = 16 √ -- 3 0 3− 16 √ -- 30 3 + 16 √ -- x = ----------- = 1 5 3− 8 lub x = -----------= 15 3+ 8 2 2](https://img.zadania.info/zad/1978411/HzadR8x.png)
Pierwsze rozwiązanie jest mniejsze niż 30, a ma być najdłuższym bokiem trójkąta
, więc
.
Odpowiedź: ,