Zadanie nr 2241465

W trójkącie ABC proste zawierające dwusieczne kątów poprowadzonych z wierzchołków i przecinają się pod kątem 45∘ . Wiedząc, że AC = 2 i BC = 6 , oblicz

długość boku trójkąta ;
długość środkowej trójkąta poprowadzonej z wierzchołka .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Robimy rysunek.

Pierwszy problem jaki napotykamy, to gdzie zaznaczyć podany kąt ? – są dwa kąty między prostymi i (w sumie dają ) i musimy wiedzieć, o który z nich chodzi. Ponieważ jednak
$∘ 2α + 2β < 180$

(suma dwóch kątów w trójkącie), więc , czyli kąt

$∘ ∘ ∡ASB = 180 − (α + β) > 90$

jest na pewno rozwarty. Zatem i korzystając z powyższej równości mamy

$∘ ∘ 135 = ∡ASB = 180 − (α + β) α+ β = 45 ∘ ∘ 2α + 2β = 90 .$

Zatem .
Możemy więc wyliczyć długość odcinka z twierdzenia Pitagorasa.

$∘ ---2------2- √ ------- √ --- AB = AC + CB = 4 + 3 6 = 2 10.$

Odpowiedź:
Zauważmy, że ponieważ kąt jest prosty to bok jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie . W takim razie środek tego boku jest środkiem okręgu opisanego i
$CD = AD = 1AB = √ 10. 2$

Odpowiedź: