/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Długości boków

Zadanie nr 2808426

Dane są długości boków a i b trójkąta. Znajdź długość trzeciego boku, jeżeli kąt leżący naprzeciw tego boku jest dwa razy większy od kąta leżącego naprzeciw boku b .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Dorysujmy dwusieczną CD i niech DB = x .

PIC

Trójkąt BDC jest równoramienny, więc CD = DB = x . Ponadto

∡ADC = 180∘ − ∡BDC = β + β = 2 β.

To oznacza, że trójkąty ABC i ACD mają równe kąty, więc są podobne. Z tego podobieństwa mamy

{ AD- AC- AC = AB CADC- = BACB- { c−bx-= bc x = a b c

Z drugiej równości mamy ab x = -c i wtedy z pierwszej równości mamy

b2 c − x = --- c b2- ab- c − c = c / ⋅c ∘ --------- c2 = b2 + ab ⇒ c = b(a + b).

Sposób II

Spróbujemy trzeci bok obliczyć z twierdzenia cosinusów, najpierw jednak wyliczymy co sβ . Z twierdzenia sinusów mamy

--b-- ---c-- sinβ = sin 2β --b-- = ------c----- sinβ 2 sinβ cos β c cos β = 2b.

Piszemy teraz twierdzenie cosinusów

2 2 2 AC = AB + BC − 2AB ⋅BC co sβ b2 = c2 + a2 − 2ca ⋅-c / ⋅b 2b b3 − a2b = c2b − c2a b(b 2 − a2) = c2(b − a) b(b− a)(b+ a) ∘ --------- c2 = ----------------= b(b + a) ⇒ c = b(b + a). (b− a)

 
Odpowiedź: ∘ --------- b (b+ a )

Wersja PDF