Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2808426

Dane są długości boków a i b trójkąta. Znajdź długość trzeciego boku, jeżeli kąt leżący naprzeciw tego boku jest dwa razy większy od kąta leżącego naprzeciw boku b .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Dorysujmy dwusieczną CD i niech DB = x .


PIC

Trójkąt BDC jest równoramienny, więc CD = DB = x . Ponadto

∡ADC = 180∘ − ∡BDC = β + β = 2 β.

To oznacza, że trójkąty ABC i ACD mają równe kąty, więc są podobne. Z tego podobieństwa mamy

{ AD- = AC- ACCD- ABBC- AC = AB { c−x- b b = c xb = ac

Z drugiej równości mamy x = ab c i wtedy z pierwszej równości mamy

 b2- c − x = c b2 ab c − ---= --- / ⋅c c c ∘ --------- c2 = b2 + ab ⇒ c = b(a + b).

Sposób II

Spróbujemy trzeci bok wyliczyć z twierdzenia cosinusów, najpierw jednak wyliczymy co sβ . Z twierdzenia sinusów mamy

 b c ----- = ------ sinβ sin 2β b c sinβ- = 2-sinβ-cos-β cos β = c-. 2b

Piszemy teraz twierdzenie cosinusów

 2 2 2 AC = AB + BC − 2AB ⋅BC co sβ b2 = c2 + a2 − 2ca ⋅-c / ⋅b 2b b3 − a2b = c2b − c2a b(b 2 − a2) = c2(b − a) b(b− a)(b+ a) ∘ --------- c2 = ----------------= b(b + a) ⇒ c = b(b + a). (b− a)

 
Odpowiedź: ∘ --------- b (b+ a )

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!