/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Długości boków

Zadanie nr 4631283

Dany jest trójkąt ABC , w którym ∘ |∡CAB | + |∡CBA | = 12 0 . Ponadto wiadomo, że |BC | = 8 i √ --- |AB | = 2 21 (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oczywiście

∘ ∘ ∘ ∘ ∡BCA = 18 0 − ∡CAB − ∡CBA = 180 − 120 = 60 .

Sposób I

Dorysujmy wysokość BD opuszczoną z wierzchołka B .

PIC

Trójkąt DCB jest połówką trójkąta równobocznego o boku BC = 8 , więc DC = 12BC = 4 i

√ -- BC---3- √ -- BD = 2 = 4 3.

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABD mamy

∘ ------------ √ -------- √ --- AD = AB 2 − BD 2 = 84 − 48 = 36 = 6.

Stąd

AC = DC + AD = 4 + 6 = 10.

Sposób II

Jeżeli oznaczymy x = AC , to na mocy twierdzenia cosinusów mamy

2 2 2 ∘ AB = AC + BC − 2AC ⋅BC ⋅cos 60 2 1 2 84 = x + 64 − 2 ⋅8x ⋅--= x − 8x + 64 2 2 0 = x − 8x − 20 Δ = 64+ 80 = 144 = 122 8-−-12- 8+--12- x = 2 < 0 lub x = 2 = 10 .

Zatem AC = 10 .  
Odpowiedź: AC = 10

Wersja PDF