/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Długości boków

Zadanie nr 4730671

W trójkącie ABC dane są: -8 cos ∡A = − 17 , 4 cos ∡B = 5 i |AB | = 24 . Oblicz długości pozostałych boków trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt.

PIC

Obliczamy z podanych cosinusów sinusy kątów α = ∡A i β = ∡B .

∘ ---------- ∘ -------- ∘ ---- 2 -64- 225- 15- sin α = 1− cos α = 1 − 28 9 = 289 = 17 ∘ ---------- ∘ ------- ∘ --- sin β = 1− cos2β = 1 − 1-6 = 9--= 3. 2 5 25 5

Sposób I

Obliczamy sin γ = sin ∡C .

∘ sin γ = sin(180 − α − β ) = sin(α + β) = sin αco sβ + sin βco sα = 1 5 4 3 ( 8 ) 36 = ---⋅ --+ --⋅ − --- = -----. 1 7 5 5 17 5⋅1 7

Korzystamy teraz z twierdzenia sinusów.

AC--- -AB-- -24- 3- 2-4 sin β = sinγ ⇒ AC = -36-⋅ 5 = 12 = 34 5⋅17 17 BC---= -AB-- ⇒ BC = 24--⋅ 15-= 24-⋅5 = 50. sin α sinγ -36-- 17 12 5⋅17 5

Sposób II

Niech D będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka C na bok AB i niech AD = x . Z trójkątów prostokątnych CDA i CDB mamy

h ∘ 1157 15 --= tg∡CAD = tg(1 80 − ∡A ) = − tg ∡A = − --8--= --- x − 17 8 h 3 3 -------= tgβ = 54-= -- x + 24 5 4

Podstawiamy teraz h = 15x 8 z pierwszej równości do drugiej i mamy

15x 3 8 --8----= -- / ⋅ -(x + 24) x+ 24 4 3 5x = 2(x + 24) = 2x+ 48 ⇒ x = 16.

Stąd h = 15x = 30 8 i

∘ -------- ∘ ---------- √ ----- AC = h2 + x 2 = 302 + 16 2 = 1156 = 3 4 ∘ --------------- ∘ ---------- ∘ ------- BC = h2 + (x + 24)2 = 30 2 + 40 2 = 10 32 + 42 = 5 0.

 
Odpowiedź: AC = 34 , BC = 50

Wersja PDF