Zadanie nr 4730671
W trójkącie dane są:
,
i
. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta
.
Rozwiązanie
Szkicujemy trójkąt.
Obliczamy z podanych cosinusów sinusy kątów i
.
![∘ ---------- ∘ -------- ∘ ---- 2 -64- 225- 15- sin α = 1− cos α = 1 − 28 9 = 289 = 17 ∘ ---------- ∘ ------- ∘ --- sin β = 1− cos2β = 1 − 1-6 = 9--= 3. 2 5 25 5](https://img.zadania.info/zad/4730671/HzadR3x.gif)
Sposób I
Obliczamy .
![∘ sin γ = sin(180 − α − β ) = sin(α + β) = sin αco sβ + sin βco sα = 1 5 4 3 ( 8 ) 36 = ---⋅ --+ --⋅ − --- = -----. 1 7 5 5 17 5⋅1 7](https://img.zadania.info/zad/4730671/HzadR5x.gif)
Korzystamy teraz z twierdzenia sinusów.
![AC--- -AB-- -24- 3- 2-4 sin β = sinγ ⇒ AC = -36-⋅ 5 = 12 = 34 5⋅17 17 BC---= -AB-- ⇒ BC = 24--⋅ 15-= 24-⋅5 = 50. sin α sinγ -36-- 17 12 5⋅17 5](https://img.zadania.info/zad/4730671/HzadR6x.gif)
Sposób II
Niech będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka
na bok
i niech
. Z trójkątów prostokątnych
i
mamy
![h ∘ 1157 15 --= tg∡CAD = tg(1 80 − ∡A ) = − tg ∡A = − --8--= --- x − 17 8 h 3 3 -------= tgβ = 54-= -- x + 24 5 4](https://img.zadania.info/zad/4730671/HzadR13x.gif)
Podstawiamy teraz z pierwszej równości do drugiej i mamy
![15x 3 8 --8----= -- / ⋅ -(x + 24) x+ 24 4 3 5x = 2(x + 24) = 2x+ 48 ⇒ x = 16.](https://img.zadania.info/zad/4730671/HzadR15x.gif)
Stąd i
![∘ -------- ∘ ---------- √ ----- AC = h2 + x 2 = 302 + 16 2 = 1156 = 3 4 ∘ --------------- ∘ ---------- ∘ ------- BC = h2 + (x + 24)2 = 30 2 + 40 2 = 10 32 + 42 = 5 0.](https://img.zadania.info/zad/4730671/HzadR17x.gif)
Odpowiedź: ,