/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Długości boków

Zadanie nr 4996893

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest trójkąt rozwartokątny ABC , w którym ∡ACB ma miarę ∘ 120 . Ponadto wiadomo, że |BC | = 3 i √ -- |AB | = 3 7 (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC .

PIC

Rozwiązanie

Sposób I

Dorysujmy wysokość BD opuszczoną z wierzchołka B .

PIC

Trójkąt DCB jest połówką trójkąta równobocznego o boku BC = 3 , więc DC = 1BC = 3 2 2 i

√ -- √ -- BC 3 3 3 BD = -------= ----. 2 2

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABD mamy

∘ -------- ∘ ---- ∘ ------------ 27 225 15 AD = AB 2 − BD 2 = 63 − ---= ----= --. 4 4 2

Stąd

15 3 AC = AD − DC = ---− --= 6. 2 2

Sposób II

Jeżeli oznaczymy x = AC , to na mocy twierdzenia cosinusów mamy

AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2AC ⋅BC ⋅cos12 0∘ ( ) 6 3 = x2 + 9− 2⋅ 3x⋅ − 1- = x2 + 3x + 9 2 0 = x2 + 3x − 54 Δ = 9 + 216 = 225 = 15 2 − 3 − 15 − 3 + 15 x = ---------< 0 lub x = ---------= 6. 2 2

Zatem AC = 6 .  
Odpowiedź: AC = 6

Wersja PDF