Zadanie nr 6930679

Promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach 5 i 8 jest równy równy √ -- 3 , a obwód tego trójkąta jest liczbą całkowitą. Oblicz długość trzeciego boku tego trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt – oznaczmy przez a = BC jego trzeci bok i niech α = ∡BAC .

Musimy jakość wykorzystać podaną informację o promieniu okręgu wpisanego. Jest w zasadzie tylko jeden sposób, żeby to zrobić – wzór na pole trójkąta: S = pr , gdzie jest połową jego obwodu.

1- pr = PABC = 2AB ⋅AC ⋅sin α / ⋅2 √ -- 2 (5 + 8+ a) 3 = 5 ⋅8 sin α / () 3(13 + a)2 = 16 00sin2 α 2 2 3(13 + a) = 16 00(1− cos α ).

Powód, dla którego przekształcaliśmy powyższą równość tak, aby powiązać ze sobą i cosα jest bardzo prosty – chcemy w tym miejscu skorzystać z twierdzenia cosinusów:

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB ⋅AC ⋅cosα 2 a2 −-89- a = 6 4+ 2 5− 80cos α ⇒ cosα = − 80 .

Sposób I

Podstawiamy obliczony cos α do wcześniej otrzymanej równości.

2 2 2 2 3(13 + a) = 4(0 − 4 0 cos α) =( (40 − 40 cosα) )(40+ 40co sα) 2 a2-−-89- a2 −-89- 3(13 + a) = 40 + 2 40− 2 / ⋅4 12(13 + a)2 = (a2 − 9)(16 9− a 2) / : (13 + a) 2 12(13 + a) = (a − 9)(13 − a).

Teraz mamy dwie możliwości. Ponieważ ma być liczbą całkowitą, oraz a < 5+ 8 = 13 , możemy sprawdzić, która z 12 możliwych wartości spełnia powyższe równanie – gdy to zrobimy okaże się, tak jest tylko dla a = 7 .

Możemy też postąpić bardziej konwencjonalnie i próbować rozwiązać otrzymane równanie wielomianowe stopnia 3.

156 + 12a = 13a2 − a3 − 117+ 9a 3 2 a − 13a + 3a + 273 = 0.

Szukamy teraz pierwiastków całkowitych – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego 273 = 3 ⋅7 ⋅13 . Dodatkowo, interesują nas tylko liczby mniejsze od 5 + 8 = 13 . Do sprawdzenia mamy więc a = 1 , a = 3 i a = 7 . Gdy to zrobimy, okaże się, że spośród tych liczb tylko a = 7 spełnia powyższe równanie.

Sposób II

Tak jak poprzednio podstawiamy cosα do otrzymanej wcześniej równości.

2 2 3(13 + a) = 1600(1 − cos α) 3(169 + 26a + a2) = 1600(1 − cos2 α) 2 2 3a2 + 78a − 1093 = − 1600co s2α = − 1 600⋅ (a-−--89)-- / ⋅4 802 1 2a2 + 312a − 4372 = −a 4 + 1 78a2 − 7921 a4 − 16 6a2 + 312a + 3549 = 0,

Szukamy teraz pierwiastków całkowitych – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego 2 3549 = 3 ⋅7 ⋅13 . Dodatkowo, interesują nas tylko liczby mniejsze od 5 + 8 = 13 . Do sprawdzenia mamy więc a = 1 , a = 3 i a = 7 . Gdy to zrobimy, okaże się, że spośród tych liczb tylko a = 7 spełnia powyższe równanie.