/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Długości boków

Zadanie nr 7792830

Dane są dwa boki trójkąta: √ --- √ --- a = 75 , b = 2 7 . Jaką długość może przyjmować trzeci bok trójkąta?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Trójkąt o bokach a ,b,c istnieje o ile

a+ b > c ∧ a + c > b ∧ b + c > a .

Tak naprawdę, to wystarczy aby była spełniona tylko jedna z tych nierówności: ta w której najdłuższy bok jest po prawej stronie.

Zauważmy najpierw, że √ --- √ -- 7 5 = 5 3 i √ --- √ -- 27 = 3 3 . Jeżeli c jest długością trzeciego boku trójkąta, to muszą być spełnione nierówności

{ -- -- -- 3 √ 3+ c > 5√ 3 ⇒ c > 2 √ 3 √ -- √ -- √ -- 3 3+ 5 3 > c ⇒ c < 8 3.

(nierówności są dwie, a nie trzy, bo √ -- 3 3 na pewno nie jest najdłuższym bokiem). Mamy zatem c ∈ (2 √ 3,8√ 3) .  
Odpowiedź: √ -- √ -- c ∈ (2 3,8 3 )

Wersja PDF