/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Długości boków

Zadanie nr 7818061

W trójkącie ABC środkowa AD jest prostopadła do boku AC . Kąt BAC ma miarę 120∘ oraz |AB | = 2|AC | = 2a . Oblicz długość odcinka AD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Sposób I

Plan jest następujący: z twierdzenia cosinusów obliczamy długość odcinka BC , a potem z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ADC obliczamy AD .

Do dzieła. Piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie BAC .

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB ⋅AC cos ∡A 2 2 2 2 ∘ BC = 4a + a − 4a co s120 2 2 √ -- BC = 7a ⇒ BC = 7a.

Pozostało teraz obliczyć długość środkowej AD .

∘ ------------ ∘ --------- √ -- AD = DC 2 − AC 2 = 7a2 − a2 = a--3. 4 2

Sposób II

Niech ′ A będzie odbiciem punktu A względem punktu D . Otrzymujemy w ten sposób równoległobok ′ ABA C , w którym D jest punktem przecięcia się przekątnych. W trójkącie prostokątnym AA ′C mamy

∘ --------------- ∘ ------------ √ -- AA ′ = (A ′C)2 − AC 2 = AB 2 − AC 2 = 3a.

Zatem 1 ′ a√3- AD = 2AA = 2 .  
Odpowiedź: √ - a--3 2

Wersja PDF