Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7818061

W trójkącie ABC środkowa AD jest prostopadła do boku AC . Kąt BAC ma miarę 120∘ oraz |AB | = 2|AC | = 2a . Oblicz długość odcinka AD .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.


PIC


Sposób I

Plan jest następujący: z twierdzenia cosinusów obliczamy długość odcinka BC , a potem z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ADC obliczamy AD .

Do dzieła. Piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie BAC .

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB ⋅AC cos ∡A 2 2 2 2 ∘ BC = 4a + a − 4a co s120 2 2 √ -- BC = 7a ⇒ BC = 7a.

Pozostało teraz obliczyć długość środkowej AD .

 ∘ ------------ ∘ --------- √ -- AD = DC 2 − AC 2 = 7a2 − a2 = a--3. 4 2

Sposób II

Niech  ′ A będzie odbiciem punktu A względem punktu D . Otrzymujemy w ten sposób równoległobok  ′ ABA C , w którym D jest punktem przecięcia się przekątnych. W trójkącie prostokątnym AA ′C mamy

 ∘ --------------- ∘ ------------ √ -- AA ′ = (A ′C)2 − AC 2 = AB 2 − AC 2 = 3a.

Zatem  1 ′ a√3- AD = 2AA = 2 .  
Odpowiedź:  √ - a--3 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!