/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Długości boków

Zadanie nr 9293682

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkącie ABC długości boków AB i AC są odpowiednio równe 4 i 6, a długość środkowej AA ′ jest równa √ --- 10 . Oblicz długość boku BC .

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku i oznaczmy BC = 2a .

PIC

Pomysł jest następujący – napiszemy twierdzenia cosinusów w trójkątach ABA ′ i AA ′C . Ponieważ cos(180 ∘ − α ) = − cos α dodając te twierdzenia cosinusów stronami skrócimy składniki z α i to pozwoli nam wyliczyć a . Liczymy

AB 2 = (AA ′)2 + A′B2 − 2AA ′ ⋅A ′B ⋅cosα √ --- 16 = 10+ a2 − 2 10aco sα 2 ′ 2 ′ 2 ′ ′ ∘ AC = (AA ) + √A-C- − 2AA ⋅A C ⋅cos(18 0 − α) 36 = 10+ a2 + 2 10aco sα.

Dodając te dwa równania stronami mamy

52 = 20 + 2a2 a2 = 16 ⇒ a = 4 ⇒ BC = 2a = 8.

 
Odpowiedź: 8

Wersja PDF