Zadanie nr 3697665

Dwa okręgi o promieniach i ( r < R ) są styczne zewnętrznie. Prosta nie przechodzi przez punkt wspólny tych okręgów i jest styczna do każdego z nich. Znajdź promień okręgu stycznego zewnętrznie do danych okręgów i stycznego do prostej . Rozważ dwa przypadki.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

Na razie nie przejmujmy się drugim przypadkiem (zresztą nie bardzo widać jak miałby wyglądać). Oznaczmy szukaną długość promienia przez . Wyliczymy długość odcinka na dwa sposoby, co pozwoli nam uzyskać zależność między x,r i . Z jednej strony

-------------------- ∘ 2 2 √ ---- √ --- AB = (r + R ) − (R − r) = 4Rr = 2 Rr .

Z drugiej strony

∘ ------------------- ∘ -------------------- --- √ --- AB = AC + CB = (r+ x)2 − (r− x )2+ (R + x)2 − (R − x)2 = 2√ rx+ 2 Rx .

Mamy stąd

√ --- √ --- √ --- Rr = rx + Rx √ --- √ --√ - √ -- Rr = x( r+ R) √ -- √Rr-- x = √-----√--- r + R Rr x = ----------√----. r + R + 2 Rr

Pora teraz zastanowić się jak wygląda drugi przypadek. Aby to sobie wyobrazić popatrzmy jeszcze raz na poprzedni rysunek, ale wyobraźmy sobie, że tym razem dane są okręgi o promieniach i . Innymi słowy, oprócz okręgu ’pomiędzy’ danymi okręgami jest jeszcze jeden, który jest ’na zewnątrz’.