/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Styczność

Zadanie nr 4538957

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest okrąg o średnicy AB i środku S oraz dwa okręgi o średnicach AS i BS . Okrąg o środku M i promieniu r ma z każdym z danych okręgów dokładnie jeden punkt wspólny (zobacz rysunek). Wykaż, że r = 16|AB | .

PIC

Rozwiązanie

Niech R będzie promieniem okręgów o środkach K i L , a r niech będzie promieniem okręgu o środku M .

PIC

Zauważmy, że przy tych oznaczeniach KM = R + r i

MS = SN − MN = SA − MN = 2R − r.

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie KSM .

2 2 2 KS + SM = KM R 2 + (2R − r)2 = (R + r)2 R 2 + 4R2 − 4Rr + r2 = R2 + 2Rr + r2 2 4R = 6Rr / : 6R 2- 2- 1- 1- r = 3R = 3 ⋅4 AB = 6 AB .
Wersja PDF