/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Styczność

Zadanie nr 4590175

Z punktu P poprowadzono styczną do okręgu o środku O w punkcie A oraz sieczną, która ma z tym okręgiem dwa punkty wspólne B oraz C . Wiadomo, że ∡PAB = 55∘ oraz ∡ABC = 8 5∘ . Oblicz miary kątów trójkąta PAC .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Obliczmy najpierw miarę kąta AP C .

PIC

Patrzymy na trójkąt PAB .

∘ ∘ ∡P BA = 180 − ∡ABC = 95 ∡AP C = 180∘ − ∡P BA − ∡PAB = 180∘ − 95 ∘ − 5 5∘ = 30∘.

Sposób I

Korzystamy z twierdzenia o stycznej i siecznej. Mamy zatem

∡ACP = ∡PAB = 55∘.

Stąd

∡PAC = 180∘ − ∡AP C − ∡ACP = 180 ∘ − 3 0∘ − 5 5∘ = 95∘.

Sposób II

Dorysujmy promienie AO i OB . Promień OA jest prostopadły do stycznej PA , więc

∘ ∘ ∡OBA = ∡OAB = 90 − ∡PAB = 35 .

Stąd

∘ ∘ ∡AOB = 180 − ∡OBA − ∡OAB = 110 .

Na mocy twierdzenia o kątach wpisanym i środkowym mamy

1 ∡ACP = --∡AOB = 55∘. 2

Stąd

∡PAC = 180∘ − ∡AP C − ∡ACP = 180 ∘ − 3 0∘ − 5 5∘ = 95∘.

 
Odpowiedź: ∡ACP = 55∘,∡AP C = 30∘,∡PAC = 95∘

Wersja PDF