/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Styczność

Zadanie nr 5388387

Odległości środków dwóch okręgów od wierzchołka kąta są równe 8 i 12. Okręgi te są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion kąta. Oblicz długości ich promieni.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy naturalnie od rysunku.

PIC

Ponieważ okręgi są styczne zewnętrznie, odległość ich środków jest równa sumie ich promieni

O 1O 2 = r1 + r2.

Z drugiej strony wiemy, że jest równa

O1O 2 = O 2A − O1A = 12 − 8 = 4.

Zatem

r1 + r2 = 4.

Musimy znaleźć jeszcze jedną zależność między promieniami. Aby to zrobić popatrzmy na prostokątne trójkąty podobne ABO 1 i ACO 2 .

BO 1 CO 2 AO--- = AO--- 1 2 r1 = r2. r = 2-r. 8 12 1 3 2

Podstawiając do wcześniej otrzymanego równania, mamy

2 --r2 + r2 = 4 3 5-r = 4 ⇒ r = 12- 3 2 2 5 2- 8- r1 = 3 r2 = 5.

 
Odpowiedź: 8 5 i 12- 5

Wersja PDF