Zadanie nr 3067625
Dwa okręgi są zewnętrznie styczne w punkcie oraz są styczne do prostej
w punktach
i
odpowiednio (zobacz rysunek).
Uzasadnij, że trójkąt jest prostokątny.
Rozwiązanie
Połączmy środki okręgów z punktami styczności.
Zauważmy, że
![∡AO 1C + ∡BO 2C = 180 ∘.](https://img.zadania.info/zad/3067625/HzadR1x.gif)
Tak jest, bo punkty i
leżą na jednej prostej, oraz odcinki
i
są do siebie równoległe (bo oba są prostopadłe do prostej
)
Sposób I
Jeżeli oznaczymy kąty i
jak na rysunku, to powyższą równość możemy zapisać jako
![180∘ − 2α + 180 ∘ − 2 β = 180 ∘ ⇒ α+ β = 90 ∘.](https://img.zadania.info/zad/3067625/HzadR9x.gif)
Z drugiej strony,
![∘ ∘ ∡ACB = 180 − α − β = 90 .](https://img.zadania.info/zad/3067625/HzadR10x.gif)
Sposób II
Tym razem skorzystamy z twierdzenia o stycznej.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/3067625/HzadR11x.gif)
Jeżeli oznaczymy i
, to na mocy twierdzenia o stycznej,
![∡AO 1C = 2∡AEC = ∡CAB = α ∡BO 2C = 2∡BF C = ∡CBA = β.](https://img.zadania.info/zad/3067625/HzadR14x.gif)
Stąd
![2α + 2β = ∡AO 1C + ∡BO 2C = 180∘,](https://img.zadania.info/zad/3067625/HzadR15x.gif)
czyli . To oczywiście oznacza, że trójkąt
jest prostokątny.