/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Styczne

Zadanie nr 3157659

Dwa okręgi przecinają się w punktach M i N . Przez punkt A pierwszego okręgu prowadzimy proste AM i AN , przecinające drugi okrąg w punktach B i C . Udowodnij, że styczna w punkcie A do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej BC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy odcinek MN i oznaczmy ∡DAM = α .

PIC

Sposób I

Na mocy twierdzenia o stycznej i siecznej, mamy

∡ANM = ∡DAM = α.

Stąd

∘ ∘ ∡MNC = 180 − ∡ANM = 180 − α.

Czworokąt NMBC jest wpisany w okrąg, więc

∘ ∡MBC = 180 − ∡MNC = α .

To oznacza, że proste AD i BC przecinają prostą AB pod takim samym kątem, czyli są równoległe.

Sposób II

Tym razem nie będziemy korzystać z twierdzenia o stycznej i siecznej – zamiast tego dorysujmy promienie O1A i O 1M . Promień O 1A jest prostopadły do stycznej, więc

∡O AM = 90∘ − α. 1

Trójkąt AO M 1 jest równoramienny, więc

∡AO M − 1 80∘ − 2∡O AM = 180∘ − 2(90 ∘ − α ) = 2α. 1 1

Kąty AO M 1 i ANM są oparte na tym samym łuku, więc

1 ∡ANM = 2∡AO 1M = α .

Teraz wystarczy skorzystać z tego, że czworokąt MBCN jest wpisany w okrąg.

∘ ∡MBC = 180 − ∡MNC = ∡ANM = α.

To oznacza, że proste AD i BC przecinają prostą AB pod takim samym kątem, czyli są równoległe.

Wersja PDF