/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Styczne

Zadanie nr 3402896

Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Udowodnij, że punkty styczności tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, na którym można opisać okrąg.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku – od razu dorysujmy odcinki łączące środki danych okręgów.

PIC

Jeżeli oznaczymy kąty ostre trójkątów równoramiennych AKN ,KBL ,LCM i MDN jak na rysunku, to mamy

∘ ∡NKL = 180 − α − β ∡KLM = 18 0∘ − β− γ ∘ ∡LMN = 180 − γ − δ ∡MNK = 180∘ − α − δ.

Z tych równości łatwo widać, że

∡NKL + ∡LMN = ∡KLM + ∡MNK ,

co kończy dowód, bo jest to warunek wystarczający na to, żeby na czworokącie KLMN dało się opisać okrąg.

Wersja PDF