Zadanie nr 3402896
Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Udowodnij, że punkty styczności tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, na którym można opisać okrąg.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku – od razu dorysujmy odcinki łączące środki danych okręgów.
Jeżeli oznaczymy kąty ostre trójkątów równoramiennych i
jak na rysunku, to mamy
![∘ ∡NKL = 180 − α − β ∡KLM = 18 0∘ − β− γ ∘ ∡LMN = 180 − γ − δ ∡MNK = 180∘ − α − δ.](https://img.zadania.info/zad/3402896/HzadR3x.gif)
Z tych równości łatwo widać, że
![∡NKL + ∡LMN = ∡KLM + ∡MNK ,](https://img.zadania.info/zad/3402896/HzadR4x.gif)
co kończy dowód, bo jest to warunek wystarczający na to, żeby na czworokącie dało się opisać okrąg.