Zadanie nr 3569793
W półkole o średnicy wpisano okrąg styczny do średnicy
w jej środku. Znajdź promień okręgu stycznego jednocześnie do półokręgu
, do wpisanego okręgu oraz do średnicy
jeżeli
.
Rozwiązanie
Zacznijmy od rysunku.
Wyliczymy na dwa sposoby długość odcinka w zależności od promienia
mniejszego okręgu i
, co pozwoli wyliczyć
w zależności od
.
Ponieważ mały okrąg i półokrąg są styczne wewnętrznie to . Z trójkąta prostokątnego
mamy
![2 2 2 2 2 2 SE = SD − DE = (R − r) − r = R − 2Rr .](https://img.zadania.info/zad/3569793/HzadR8x.gif)
Z drugiej strony,
![( )2 ( ) 2 SE 2 = SO 2 − OE 2 = R-+ r − R-− r = 2Rr. 2 2](https://img.zadania.info/zad/3569793/HzadR9x.gif)
Mamy zatem
![R 2 − 2Rr = 2Rr 2 R = 4Rr R = 4r.](https://img.zadania.info/zad/3569793/HzadR10x.gif)
Odpowiedź: