Zadanie nr 3697665
Dwa okręgi o promieniach i
(
) są styczne zewnętrznie. Prosta
nie przechodzi przez punkt wspólny tych okręgów i jest styczna do każdego z nich. Znajdź promień okręgu stycznego zewnętrznie do danych okręgów i stycznego do prostej
. Rozważ dwa przypadki.
Rozwiązanie
Zaczynamy oczywiście od rysunku.
Na razie nie przejmujmy się drugim przypadkiem (zresztą nie bardzo widać jak miałby wyglądać). Oznaczmy szukaną długość promienia przez . Wyliczymy długość odcinka
na dwa sposoby, co pozwoli nam uzyskać zależność między
i
. Z jednej strony
![-------------------- ∘ 2 2 √ ---- √ --- AB = (r + R ) − (R − r) = 4Rr = 2 Rr .](https://img.zadania.info/zad/3697665/HzadR5x.gif)
Z drugiej strony
![∘ ------------------- ∘ -------------------- --- √ --- AB = AC + CB = (r+ x)2 − (r− x )2+ (R + x)2 − (R − x)2 = 2√ rx+ 2 Rx .](https://img.zadania.info/zad/3697665/HzadR6x.gif)
Mamy stąd
![√ --- √ --- √ --- Rr = rx + Rx √ --- √ --√ - √ -- Rr = x( r+ R) √ -- √Rr-- x = √-----√--- r + R Rr x = ----------√----. r + R + 2 Rr](https://img.zadania.info/zad/3697665/HzadR7x.gif)
Pora teraz zastanowić się jak wygląda drugi przypadek. Aby to sobie wyobrazić popatrzmy jeszcze raz na poprzedni rysunek, ale wyobraźmy sobie, że tym razem dane są okręgi o promieniach i
. Innymi słowy, oprócz okręgu ’pomiędzy’ danymi okręgami jest jeszcze jeden, który jest ’na zewnątrz’.
Rachunkowo mamy dokładnie tę samą sytuację, ale musimy zamienić rolami i
. Mamy zatem
![√ --- √ --- √ --- Rx = rx + Rr √ --√ -- √ - √ --- x( R − -r) = Rr √ -- √ Rr x = √------√-- R − r Rr x = ----------√----. r + R − 2 Rr](https://img.zadania.info/zad/3697665/HzadR13x.gif)
Odpowiedź: lub