Zadanie nr 8898720
Dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie . Poprowadzono prostą, styczną do obu okręgów odpowiednio w punktach
i
(
). Wykaż, że kąt
jest prosty.
Rozwiązanie
Zacznijmy od rysunku.
Zauważmy, że
![∡AO 1P + ∡BO 2P = 180∘.](https://img.zadania.info/zad/8898720/HzadR1x.gif)
Tak jest, bo punkty i
leżą na jednej prostej, oraz odcinki
i
są do siebie równoległe (bo oba są prostopadłe do prostej
)
Sposób I
Jeżeli oznaczymy kąty i
jak na rysunku, to powyższą równość możemy zapisać jako
![180∘ − 2α + 180 ∘ − 2 β = 180 ∘ ⇒ α+ β = 90 ∘.](https://img.zadania.info/zad/8898720/HzadR9x.gif)
Z drugiej strony,
![∘ ∘ ∡AP B = 180 − α − β = 90 .](https://img.zadania.info/zad/8898720/HzadR10x.gif)
Sposób II
Tym razem skorzystamy z twierdzenia o stycznej.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/8898720/HzadR11x.gif)
Jeżeli oznaczymy i
, to na mocy twierdzenia o stycznej,
![∡AO 1P = 2∡ACP = ∡PAB = α ∡BO P = 2∡BDP = ∡P BA = β. 2](https://img.zadania.info/zad/8898720/HzadR14x.gif)
Stąd
![∘ 2 α+ 2β = ∡AO 1P + ∡BO 2P = 1 80 ,](https://img.zadania.info/zad/8898720/HzadR15x.gif)
czyli . To oczywiście oznacza, że trójkąt
jest prostokątny.