Zadanie nr 9630167
Dwa okręgi przecinają się w punktach i
. Przez punkt
pierwszego okręgu prowadzimy proste
i
, przecinające drugi okrąg w punktach
i
. Udowodnij, że styczna w punkcie
do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej
.
Rozwiązanie
Dorysujmy odcinek i oznaczmy
.
Sposób I
Na mocy twierdzenia o stycznej i siecznej, mamy
![∡ANM = ∡DAM = α.](https://img.zadania.info/zad/9630167/HzadR3x.gif)
Stąd
![∘ ∘ ∡MNC = 180 − ∡ANM = 180 − α.](https://img.zadania.info/zad/9630167/HzadR4x.gif)
Czworokąt jest wpisany w okrąg, więc
![∘ ∡MBC = 180 − ∡MNC = α .](https://img.zadania.info/zad/9630167/HzadR6x.gif)
To oznacza, że proste i
przecinają prostą
pod takim samym kątem, czyli są równoległe.
Sposób II
Tym razem nie będziemy korzystać z twierdzenia o stycznej i siecznej – zamiast tego dorysujmy promienie i
. Promień
jest prostopadły do stycznej, więc
![∡SAM = 90∘ − α .](https://img.zadania.info/zad/9630167/HzadR13x.gif)
Trójkąt jest równoramienny, więc
![∡ASM − 1 80∘ − 2∡SAM = 180 ∘ − 2 (90∘ − α) = 2α.](https://img.zadania.info/zad/9630167/HzadR15x.gif)
Kąty i
są oparte na tym samym łuku, więc
![1- ∡ANM = 2∡ASM = α.](https://img.zadania.info/zad/9630167/HzadR18x.gif)
Teraz wystarczy skorzystać z tego, że czworokąt jest wpisany w okrąg.
![∡MBC = 180∘ − ∡MNC = ∡ANM = α.](https://img.zadania.info/zad/9630167/HzadR20x.gif)
To oznacza, że proste i
przecinają prostą
pod takim samym kątem, czyli są równoległe.