/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Styczne

Zadanie nr 9630167

Dwa okręgi przecinają się w punktach M i N . Przez punkt A pierwszego okręgu prowadzimy proste AM i AN , przecinające drugi okrąg w punktach B i C . Udowodnij, że styczna w punkcie A do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej BC .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy odcinek MN i oznaczmy ∡DAM = α .

PIC

Sposób I

Na mocy twierdzenia o stycznej i siecznej, mamy

∡ANM = ∡DAM = α.

Stąd

∘ ∘ ∡MNC = 180 − ∡ANM = 180 − α.

Czworokąt NMBC jest wpisany w okrąg, więc

∘ ∡MBC = 180 − ∡MNC = α .

To oznacza, że proste AD i BC przecinają prostą AB pod takim samym kątem, czyli są równoległe.

Sposób II

Tym razem nie będziemy korzystać z twierdzenia o stycznej i siecznej – zamiast tego dorysujmy promienie SA i SM . Promień SA jest prostopadły do stycznej, więc

∡SAM = 90∘ − α .

Trójkąt ASM jest równoramienny, więc

∡ASM − 1 80∘ − 2∡SAM = 180 ∘ − 2 (90∘ − α) = 2α.

Kąty ASM i ANM są oparte na tym samym łuku, więc

1- ∡ANM = 2∡ASM = α.

Teraz wystarczy skorzystać z tego, że czworokąt MBCN jest wpisany w okrąg.

∡MBC = 180∘ − ∡MNC = ∡ANM = α.

To oznacza, że proste AD i BC przecinają prostą AB pod takim samym kątem, czyli są równoległe.

Wersja PDF