/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoramienny

Zadanie nr 4844401

Na ramionach AC i BC trójkąta równoramiennego ABC wybrano punkty P i Q w ten sposób, że odcinek PQ jest równoległy do podstawy AB i styczny do okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Wykaż, że pole trójkąta ABC jest równe

∘ ------------ |AB |2 |AB |⋅|P Q | --------------------. 2(|AB |− |P Q |)
Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.

PIC

Oznaczmy P Q = a,AB = b . Zauważmy, że trapez równoramienny ABQP jest opisany na okręgu, więc łatwo obliczyć długość jego ramienia.

a+ b = AB + P Q = AP + BQ = 2d ⇒ d = a-+-b-. 2

Teraz z trójkąta prostokątnego FBQ łatwo obliczyć odległość x między prostymi AB i P Q (czyli wysokość trapezu ABQP ).

∘ ----------------------- ∘ --------- ( a + b) 2 ( b− a) 2 √ --- x = d2 − FB 2 = ------ − ------ = ab. 2 2

Aby teraz obliczyć wysokość h trójkąta ABC korzystamy z podobieństwa trójkątów ABC i P QC .

--h--- = b- h − x a ah = bh − bx √ --- bx b ab h = b−--a-= b−--a.

Pole trójkąta ABC jest więc równe

√ --- 2√ --- P = 1-⋅b ⋅h = 1⋅ b⋅ b--ab-= b----ab-. 2 2 b− a 2(b− a)
Wersja PDF