/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoramienny

Zadanie nr 8763250

Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | .

PIC

Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że |AD | = |CD | oraz |AB | = |BD | . Udowodnij, że |∡ADC | = 5⋅ |∡ACD | .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy ∡ACD = α . Wyliczymy wszystkie inne kąty zaznaczone na obrazku w zależności od α .

PIC

Ponieważ trójkąt ADC jest równoramienny mamy

∡CAD = α ⇒ ∡ADC = 1 80∘ − 2α ⇒ ∡ADB = 2 α.

Teraz korzystamy z tego, że trójkąt ABD jest równoramienny.

∡DAB = 2 α ⇒ ABD = 1 80∘ − 2α− 2α = 1 80∘ − 4α.

Teraz pozostało skorzystać z tego, że wyjściowy trójkąt ABC jest równoramienny.

∘ ∘ ∡A = ∡B ⇒ 3α = 180 − 4α ⇒ 7 α = 180 .

Mamy zatem

∘ ∡ADC = 180 − 2α = 7α − 2α = 5α = 5∡ACD .
Wersja PDF