Zadanie nr 1908148

Kwadrat ABCD jest wpisany w okrąg o równaniu 2 2 (x − 4 ) + (y − 4) = 10 oraz A = (3,1) . Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną tego kwadratu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dany okrąg to okrąg o środku S = (4,4) i przechodzący przez punkt A = (3,1) (o promieniu √ --- 10 ). To pozwala wykonać szkicowy rysunek.

ZINFO-FIGURE

Zauważmy, że szukana prosta to prosta prostopadła do prostej i przechodząca przez (bo przekątne kwadratu są prostopadłe).

Sposób I

Rozpocznijmy od napisania równania prostej – szukamy prostej w postaci y = ax+ b . Podstawiając współrzędne punktów i mamy

{ 1 = 3a + b 4 = 4a + b .

Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić ) mamy a = 3 . Współczynnika możemy nie obliczać, bo nie jest nam do niczego potrzebny.

Szukana prosta jest prostopadła do , więc ma równanie postaci y = − 13x + b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

4 = − 1-⋅4 + b ⇒ b = 16-. 3 3

Zatem szukana prosta ma równanie y = − 13x + 163

Sposób II

Równanie prostej można łatwo napisać jeżeli skorzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt S = (x 0,y0)