Jeden bok kwadratu opisanego okręgu o równaniu x^2+y^2-8x+2y-3=0... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Kwadrat, 3508398

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Kwadrat

Zadanie nr 3508398

Jeden bok kwadratu opisanego okręgu o równaniu $2 2 x + y − 8x + 2y − 3 = 0$ jest zawarty w prostej o równaniu $x + 2y − 12 = 0$ . Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu.

Rozwiązanie

Przekształćmy najpierw równanie okręgu tak, aby zobaczyć jaki jest jego środek i promień.

2 2 x + y − 8x + 2y − 3 = 0 (x − 4)2 + (y + 1)2 = 16 + 1 + 3 = 20

Jest to więc okrąg o środku $S = (4,− 1)$ i promieniu $√ --- √ -- r = 20 = 2 5$ . Szkicujemy tę sytuację.

Jeżeli przyjmiemy oznaczenia wierzchołków kwadratu jak na rysunku, to zaczniemy od napisania równań prostych $BC$ i $AD$ . Każda z nich jest prostopadła do danej prostej, więc mają równania postaci

y− 2x− b = 0

Współczynnik $b$ wyznaczymy sprawdzając, kiedy odległość tej prostej od punktu $S$ jest równa $√ --- r = 2 0$ . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu $P = (x0,y0)$ od prostej $Ax + By + C = 0$ :

|Ax-0√-+-By-0 +-C|. A 2 + B 2

W naszej sytuacji mamy zatem

√ -- |−--1−--8−--b| |9+--b| 2 5 = 1+ 22 = √ 5 10 = |9+ b| 10 = 9 + b lub 10 = − 9 − b b = 1 lub b = − 19 .

Proste $BC$ i $AD$ mają więc odpowiednio równania: $y = 2x+ 1$ i $y = 2x− 19$ . Wyznaczamy teraz współrzędne punktów $B$ i $A$ . Najpierw punkt $B$ – czyli punkt wspólny prostych $AB$ i $BC$ .