/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Kwadrat

Zadanie nr 3508398

Jeden bok kwadratu opisanego okręgu o równaniu 2 2 x + y − 8x + 2y − 3 = 0 jest zawarty w prostej o równaniu x + 2y − 12 = 0 . Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształćmy najpierw równanie okręgu tak, aby zobaczyć jaki jest jego środek i promień.

2 2 x + y − 8x + 2y − 3 = 0 (x − 4)2 + (y + 1)2 = 16 + 1 + 3 = 20

Jest to więc okrąg o środku S = (4,− 1) i promieniu √ --- √ -- r = 20 = 2 5 . Szkicujemy tę sytuację.

PIC

Jeżeli przyjmiemy oznaczenia wierzchołków kwadratu jak na rysunku, to zaczniemy od napisania równań prostych BC i AD . Każda z nich jest prostopadła do danej prostej, więc mają równania postaci

y− 2x− b = 0

Współczynnik b wyznaczymy sprawdzając, kiedy odległość tej prostej od punktu S jest równa √ --- r = 2 0 . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0√-+-By-0 +-C|. A 2 + B 2

W naszej sytuacji mamy zatem

√ -- |−--1−--8−--b| |9+--b| 2 5 = 1+ 22 = √ 5 10 = |9+ b| 10 = 9 + b lub 10 = − 9 − b b = 1 lub b = − 19 .

Proste BC i AD mają więc odpowiednio równania: y = 2x+ 1 i y = 2x− 19 . Wyznaczamy teraz współrzędne punktów B i A . Najpierw punkt B – czyli punkt wspólny prostych AB i BC .

{ 1 y = − 2x + 6 y = 2x+ 1.

Odejmujemy od drugiego równania pierwszego i mamy

1- 5- 0 = 2x + 2x − 5 ⇐ ⇒ 2x = 5 ⇐ ⇒ x = 2 .

Stąd y = 2x + 1 = 5 i B = (2,5) .

Dokładnie w ten sam sposób wyznaczmy współrzędne punktu A .

{ y = − 1x + 6 2 y = 2x− 19

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

0 = 2x + 1x − 25 ⇐ ⇒ 5x = 25 ⇐ ⇒ x = 10. 2 2

Stąd y = 2x − 1 9 = 1 i A = (10,1) .

Współrzędne pozostałych dwóch wierzchołków wyznaczamy korzystając ze znajomości środka symetrii S = (4 ,−1 ) kwadratu.

A + C S = ------- ⇒ C = 2S − A = (8,− 2)− (10,1) = (− 2,− 3) 2 S = B-+--D- ⇒ D = 2S − B = (8,− 2)− (2,5) = (6,− 7). 2

 
Odpowiedź: (10,1), (2,5), (− 2,− 3), (6,− 7)

Wersja PDF