Zadanie nr 3508398
Jeden bok kwadratu opisanego okręgu o równaniu jest zawarty w prostej o równaniu
. Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu.
Rozwiązanie
Przekształćmy najpierw równanie okręgu tak, aby zobaczyć jaki jest jego środek i promień.

Jest to więc okrąg o środku i promieniu
. Szkicujemy tę sytuację.
Jeżeli przyjmiemy oznaczenia wierzchołków kwadratu jak na rysunku, to zaczniemy od napisania równań prostych i
. Każda z nich jest prostopadła do danej prostej, więc mają równania postaci

Współczynnik wyznaczymy sprawdzając, kiedy odległość tej prostej od punktu
jest równa
. Korzystamy ze wzoru na odległość punktu
od prostej
:

W naszej sytuacji mamy zatem

Proste i
mają więc odpowiednio równania:
i
. Wyznaczamy teraz współrzędne punktów
i
. Najpierw punkt
– czyli punkt wspólny prostych
i
.

Odejmujemy od drugiego równania pierwszego i mamy

Stąd i
.
Dokładnie w ten sam sposób wyznaczmy współrzędne punktu .

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

Stąd i
.
Współrzędne pozostałych dwóch wierzchołków wyznaczamy korzystając ze znajomości środka symetrii kwadratu.

Odpowiedź: