Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6250343

Punkt A = (3,1),B = (7,3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu ABCD . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego kwadratu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku


PIC


Wyznaczymy równania prostych prostopadłych przechodzących przez punkt A i B (na rysunku oznaczone przez k,l ), a następnie na każdej z tych prostych znajdziemy punkty które są w takiej samej odległości od punktu A (odpowiednio B ) co punkt A od punktu B . Najpierw wyznaczymy pomocniczą prostą przechodzącą przez punkty A,B

{ 1 = 3a+ b 3 = 7a+ b.

Odejmujemy stronami równania

 1 2 = 4a ⇒ a = 2.

Stąd

 3- 1- b = 1 − 3a = 1 − 2 = − 2 ,

czyli lAB : y = 12x − 12 . Niech

k : y = ax + b1 i l : y = ax + b2.

Obydwie powyższe proste są prostopadłe do lAB , więc

1a = − 1 ⇒ a = − 2. 2

Wyznaczamy prostą k

1 = 3⋅(− 2) + b1 ⇒ b1 = 7 k : y = − 2x+ 7.

Wyznaczamy prostą l

3 = 7 ⋅(− 2)+ b2 ⇒ b2 = 17 l : y = − 2x+ 17.

Liczymy odległość punktu A od B

 ∘ ------------------- √ ------- √ -- d (A,B ) = (7 − 3)2 + (3 − 1)2 = 16 + 4 = 2 5.

Gdybyśmy mieli teraz geometrycznie wyznaczyć pozostałe punkty, to wystarczyło by narysować okręgi o środkach w punktach A i B i promieniu √ --- 20 . Wówczas szukanymi punktami byłyby punkty przecięcia się tych okręgów z prostymi k i l . My zrobimy dokładnie to samo tyle, że używając rachunków. Okrąg o środku w punkcie A i promieniu √ --- 20 ma równanie

 2 2 (x − 3) + (y − 1) = 20.

Wyznaczmy punkty wspólne tego okręgu i prostej k

 2 2 (x− 3) + (− 2x+ 7− 1) = 20 x2 − 6x + 9 + 4x2 − 24x + 3 6 = 20 2 5x − 30x + 25 = 0 2 x − 6x + 5 = 0.

Liczymy pierwiastki

 2 2 Δ = 6 − 4 ⋅5 = 36 − 20 = 16 = 4 6-−-4- 6-+-4- x = 2 = 1 lub x = 2 = 5.

Zatem

y = − 2⋅1 + 7 = 5 lub y = − 2 ⋅5+ 7 = − 3.

Okrąg o środku w punkcie B i promieniu √ --- 2 0 ma równanie

(x − 7)2 + (y − 3)2 = 20.

Wyznaczmy punkty wspólne tego okręgu i prostej l

(x − 7)2 + (− 2x + 17 − 3)2 = 2 0 2 2 x − 14x + 4 9+ 4x − 56x + 196 = 20 5x2 − 70x + 225 = 0 2 x − 14x + 4 5 = 0.

Liczymy pierwiastki

 2 2 Δ = (− 14) − 4 ⋅45 = 19 6− 1 80 = 16 = 4 14 − 4 14 + 4 x = -------= 5 lub x = -------= 9 2 2

Zatem

y = − 2⋅ 5+ 1 7 = 7 lub y = − 2 ⋅9 + 17 = − 1

Podsumowując otrzymujemy dwa warianty dla pozostałych punktów

C = (5 ,7 ),D = (1,5) lub C = (9 ,−1 ),D = (5,− 3).

 
Odpowiedź: C = (5,7),D = (1,5) lub C = (9,− 1),D = (5,− 3)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!