/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Kwadrat

Zadanie nr 8781354

Przekątne kwadratu ABCD przecinają się w punkcie S = (3,− 1) , a jeden z jego boków jest zawarty w prostej k o równaniu 3y + x − 10 = 0 . Wyznacz współrzędne wierzchołków kwadratu ABCD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Widać, że łatwo możemy obliczyć długość a boku kwadratu ABCD – połowa długości tego boku to odległość punktu S od danej prostej k . Liczymy

a- |-−-3-+-3−--10| -1-0- √ --- 2 = √ ------ = √ --- = 10 √ ---9 + 1 1 0 a = 2 1 0.

To oznacza, że

√ -- √ --- √ -- a--2- 2--1-0⋅--2- √ -- SA = SB = 2 = 2 = 2 5

i równanie okręgu opisanego na kwadracie ABCD ma postać

√ -- (x − 3)2 + (y + 1)2 = (2 5)2 = 20.

Punkty A i B wyznaczamy teraz jako punkty wspólne tego okręgu i danej prostej k . Podstawiamy x = − 3y + 10 do równania okręgu.

2 2 2 2 2 0 = (x − 3) + (y+ 1) = (− 3y + 10 − 3) + (y + 1) 2 0 = 9y2 − 42y + 49 + y 2 + 2y + 1 = 10y2 − 40y + 50 / : 10 2 0 = y − 4y + 3.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe

Δ = 1 6− 1 2 = 4 y = 4−--2-= 1 lub y = 4+--2-= 3 2 2

Stąd x = − 3y + 1 0 = 7 i x = − 3y + 1 0 = 1 odpowiednio. Zatem (przy oznaczeniach z naszego rysunku) A = (1,3) i B = (7,1) . Punkt S jest środkiem odcinków DB i CA więc

S = B-+-D-- ⇒ D = 2S− B = (6 ,−2 )− (7 ,1 ) = (− 1,− 3) 2 A + C S = ------- ⇒ C = 2S − A = (6 ,−2 )− (1 ,3 ) = (5,− 5). 2

 
Odpowiedź: (1,3),(7,1),(5 ,−5 ),(− 1 ,− 3 )

Wersja PDF