Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9183390

W kwadracie ABCD dane są wierzchołek A (1,− 3) i równanie prostej k : 2x − y = 0 w której zawiera się jedna z przekątnych kwadratu. Znajdź współrzędne wierzchołka C oraz oblicz pole tego kwadratu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Wstawiając do wzoru sprawdzamy, że podana przekątna to BD (punkt A na niej nie leży). Naszkicujmy sobie tę sytuację.


PIC


Gdy popatrzymy sobie na obrazek, to powinno być widać, że dość łatwo jest wyznaczyć wierzchołek C – wystarczy napisać równanie prostej prostopadłej do k i przechodzącej przez A (druga przekątna). Jej punkt wspólny S z przekątną BD ma być środkiem odcinka AC , co pozwoli łatwo wyznaczyć punkt C . Gdybyśmy chcieli dodatkowo wyliczyć wierzchołki B i D (ale nie musimy tego robić), to wystarczy znaleźć punkty wspólne przekątnej BD i okręgu o środku S i promieniu AS .

Wszystko wiemy, to liczymy. Prosta AC ma postać  1 y = − 2x + b (ma być prostopadła do BD ). Współczynnik b wyliczamy podstawiając punkt A .

− 3 = − 1-+ b ⇒ b = − 5. 2 2

Szukamy jej punktu wspólnego S z prostą BD (wstawiamy  1 5 y = − 2 x− 2 ) do równania prostej k ).

− 1x − 5-= 2x 2 2 5- 5- − 2 = 2 x ⇒ x = − 1.

Zatem S = (−1 ,−2 ) . Skoro jest to środek odcinka o końcach A i C = (x ,y ) c c , to mamy

 ( ) 1 + xc − 3 + yc (− 1,− 2) = --2---,----2--- ⇒ C = (−3 ,−1 ).

Pozostało obliczyć pole kwadratu. Policzmy długość przekątnej:

 ∘ ----------- √ -- AC = (− 4)2 + 22 = 2 5.

Możemy z tego obliczyć bok kwadratu, ale możemy też od razu skorzystać ze wzoru na pole rombu z przekątnymi:

 1 2 P = 2AC = 1 0.

 
Odpowiedź: C = (− 3,− 1), P = 10

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!