W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty A=(5,4) i C=(3,8)... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Kwadrat, 9520334

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Kwadrat

Zadanie nr 9520334

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty $A = (5,4)$ i $C = (3,8)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$ . Wyznacz równanie prostej $BD$ .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku

Z obrazka widzimy, że musimy napisać równanie prostej prostopadłej do prostej $AC$ i przechodzącej przez środek odcinka $AC$ , czyli przez punkt

( ) 5-+-3-4-+-8- S = 2 , 2 = (4,6).

Zrobimy to na trzy sposoby.

Sposób I

Szukana prosta jest symetralną odcinka $AC$ , czyli zbiorem punktów $P = (x,y)$ , które są w tej samej odległości od punktów $A$ i $C$ . Otrzymujemy stąd równanie

PA 2 = P C2 2 2 2 2 (x − 5) + (y − 4) = (x − 3) + (y − 8) x2 − 10x + 2 5+ y2 − 8y+ 16 = x2 − 6x + 9 + y2 − 16y + 64 8y = 4x + 32 / : 8 1 y = -x + 4. 2

Sposób II

Zacznijmy od napisania równania prostej $AC$ . Szukamy prostej postaci $y = ax+ b$ . Podstawiając współrzędne punktów $A$ i $C$ otrzymujemy układ równań.

{ 4 = 5a + b 8 = 3a + b

Odejmując od pierwszego równania drugie (żeby skrócić $b$ ) mamy

− 4 = 2a ⇐ ⇒ a = − 2.

I dalej możemy nie liczyć, bo potrzebny nam jest tylko współczynnik kierunkowy. Zatem prosta $BD$ , jako prostopadła do $AC$ musi mieć współczynnik kierunkowy $12$ , czyli jest postaci $y = 12x + b$ dla pewnego $b$ . Współczynnik $b$ wyliczamy podstawiając współrzędne punktu $S = (4,6)$ .