/Szkoła średnia/Nierówności/Układy nierówności/Liniowy

Zadanie nr 8004268

Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne (x,y ) są rozwiązaniem układu nierówności

( |{ y + 3x ≤ 4 4y − 3x ≤ 31 |( 2y + x ≥ 3.

Oblicz pole tego obszaru.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Plan jest prosty: szkicujemy proste y = − 3x + 4 , 3 31 y = 4 x+ 4 oraz y = − 12x + 32 , a potem zaznaczamy obszar, który jest jednocześnie poniżej dwóch pierwszych prostych i powyżej trzeciej prostej. Zanim to jednak zrobimy wyznaczmy współrzędne punktów wspólnych tych trzech prostych. Powiedzmy, że pierwsze dwie przecinają się w punkcie A , druga z trzecią w punkcie B , a trzecia z pierwszą w punkcie C .

Wyznaczamy współrzędne punktu A .

{ y = − 3x+ 4 4y = 3x + 31

Dodajemy równania stronami (żeby zredukować x ) i mamy 5y = 35 , czyli y = 7 i x = 4−y-= − 1 3 . Zatem A = (− 1,7 ) .

Wyznaczamy współrzędne punktu B .

{ 4y = 3x + 31 2y = −x + 3

Odejmujemy od pierwszego równania drugie pomnożone przez 2 (żeby zredukować y ) i mamy 0 = 5x+ 25 , czyli x = − 5 i y = −x+-3= 4 2 . Zatem B = (− 5,4) .

Wyznaczamy współrzędne punktu C .

{ 2y = −x + 3 y = − 3x+ 4.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie pomnożone przez 2 (żeby zredukować y ) i mamy 0 = 5x− 5 , czyli x = 1 i y = − 3x + 4 = 1 . Zatem C = (1,1) .

Teraz jesteśmy w stanie wykonać już dość dokładny rysunek.

PIC

Pole otrzymanego trójkąta obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Policzymy długość odcinka AC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B , czyli odległość punktu B od prostej AC .

∘ ------------------- √ ------- √ --- AC = (1+ 1)2 + (1 − 7 )2 = 4+ 36 = 2 10 .

Teraz liczymy odległość punktu B = (− 5,4) od prostej AB : y + 3x − 4 = 0 .

|4− 15− 4| 15 h = --√--------- = √----. 1 + 9 1 0

Zatem pole jest równe

1 1 √ --- 15 P = -⋅ AC ⋅h = --⋅2 1 0⋅ √----= 15 . 2 2 10

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach A = (xA ,yA ) , B = (xB,yB ) i C = (xC ,yC) .

1 PABC = --|(xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA )(xC − xA )|. 2

W naszej sytuacji mamy

1 1 P = --|(− 5 + 1)(1 − 7) − (4 − 7)(1 + 1)| = --|24+ 6| = 15. 2 2

 
Odpowiedź: 15

Wersja PDF