/Konkursy/Zadania/Zadania z treścią/Różne

Zadanie nr 1683029

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Malarz chcąc rozjaśnić 20 litrów granatowej farby postąpił w następujący sposób: odlał jeden litr farby i dolał 1 litr farby białej, a potem całość dokładnie wymieszał. Procedurę tę powtórzył w sumie 8 razy. Ile litrów granatowej farby pozostało w otrzymanej mieszaninie? Wynik podaj z dokładnością do 1 litra.

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że w każdym kroku malarz usuwa dokładnie -1 20 pozostałej granatowej farby – tak jest, bo nigdy nie dolewa granatowej farby i wiemy, że farba jest dokładnie wymieszana, czyli w usuwanym litrze jest dokładnie 120 pozostałej farby granatowej. W takim razie, ze wzoru na procent składany, po 8 powtórzeniach tej procedury pozostanie

( 1 ) 8 ( ) 4 20 ⋅ 1− --- = 20 ⋅(0,95)8 = 20⋅ (0,95)2 = 20 ( 2) 2 2 = 20 ⋅ (0,9025) ≈ 20⋅ (0,8145) ≈ 13 ,27 ≈ 13.

Sposób II

Jeżeli nie zauważyliśmy, że mamy do czynienia z procentem składanym to możemy liczyć na piechotę.

Liczymy ile granatowej farby zostaje po każdym kroku.

W pierwszym kroku zabieramy -1 20 objętości farby, czyli zostaje

1-- 19- 20 − 20 ⋅ 20 = 20 ⋅20

litrów.

W drugim kroku znowu zabieramy -1 20 granatowej farby, więc zostaje

19 19 ( 19) 2 20 ⋅---⋅---= 20 ⋅ --- . 20 20 20

W trzecim kroku znowu zabieramy 210 objętości farby i zostaje

( ) ( ) 19- 2 19- 19- 3 20⋅ 20 ⋅ 20 = 20 ⋅ 20 .

I tak dalej, po 8 krokach zostanie

( 19 ) 8 2 0⋅ --- 20

litrów farby. Wyrażenie to szacujemy jak poprzednio.  
Odpowiedź: 13 litrów

Wersja PDF