/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Różne

Zadanie nr 2726434

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest trójkąt ABC , który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta ABC jest dwa razy większa od miary kąta BAC . Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek

|AC |2 = |BC |2 + |AB |⋅|BC |.

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt.

ZINFO-FIGURE

Przy oznaczeniach z rysunku, mamy udowodnić, że

b2 = a2 + ac.

Na mocy twierdzenia sinusów mamy

--a-- --b--- -----b------ sin α = sin 2α = 2 sin α cosα b 2 cosα = -. a

Sposób I

Jeszcze raz korzystamy z twierdzenia sinusów.

a c c ----- = --------∘------ = ------ sin α sin(1 80 − 3α) sin 3α csin α = a sin 3α = a(sin α cos2α + sin 2α cosα ) = 2 = a(sin α(2co s α − 1) + 2 sin αc osα cosα ) / : sin α 2 2 ( 2 ) c = a(2 cos α − 1 + 2 cos α) = a 4co s α − 1 = ( 2 ) 2 = a b-− 1 = b--− a /⋅ a a2 a ac = b2 − a2.

Sposób II

Piszemy twierdzenie cosinusów.

b 2c a2 = b2 + c2 − 2bc cosα = b2 + c2 −---- a 2 2 2 b2c- 2 2 2 b2c- 0 = b − a + c − b = (b − a − ac) + c + ac− a = 2 2 c 2 2 2 2 ( c) = (b − a − ac) + -(ac + a − b ) = (b − a − ac) 1 − -- . a a

Wiemy, że trójkąt nie jest równoramienny, więc a ⁄= c i wyrażenie w drugim nawiasie jest niezerowe. Zatem

b2 = a2 + ac

.

Sposób III

Tym razem dorysujmy dwusieczną BD i oznaczmy CD = x . Trójkąt ABD jest równoramienny, więc

BD = AD = b− x.

Ponadto

∡CDB = 180∘ − ∡BDA = 2α ,

więc trójkąt BDC jest podobny do trójkąta ABC (mają takie same kąty). Stąd

x a a2 --= -- ⇒ x = --- a b b b-−-x- c- ac- a = b ⇒ b − x = b .

Mamy zatem

2 ac-= b − x = b− a-- / ⋅b b b ac = b2 − a2.
Wersja PDF