Zadanie nr 2726434
Dany jest trójkąt , który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta
jest dwa razy większa od miary kąta
. Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek
![|AC |2 = |BC |2 + |AB |⋅|BC |.](https://img.zadania.info/zad/2726434/HzadT3x.png)
Rozwiązanie
Szkicujemy trójkąt.
Przy oznaczeniach z rysunku, mamy udowodnić, że
![b2 = a2 + ac.](https://img.zadania.info/zad/2726434/HzadR1x.png)
Na mocy twierdzenia sinusów mamy
![--a-- --b--- -----b------ sin α = sin 2α = 2 sin α cosα b 2 cosα = -. a](https://img.zadania.info/zad/2726434/HzadR2x.png)
Sposób I
Jeszcze raz korzystamy z twierdzenia sinusów.
![a c c ----- = --------∘------ = ------ sin α sin(1 80 − 3α) sin 3α csin α = a sin 3α = a(sin α cos2α + sin 2α cosα ) = 2 = a(sin α(2co s α − 1) + 2 sin αc osα cosα ) / : sin α 2 2 ( 2 ) c = a(2 cos α − 1 + 2 cos α) = a 4co s α − 1 = ( 2 ) 2 = a b-− 1 = b--− a /⋅ a a2 a ac = b2 − a2.](https://img.zadania.info/zad/2726434/HzadR3x.png)
Sposób II
Piszemy twierdzenie cosinusów.
![b 2c a2 = b2 + c2 − 2bc cosα = b2 + c2 −---- a 2 2 2 b2c- 2 2 2 b2c- 0 = b − a + c − b = (b − a − ac) + c + ac− a = 2 2 c 2 2 2 2 ( c) = (b − a − ac) + -(ac + a − b ) = (b − a − ac) 1 − -- . a a](https://img.zadania.info/zad/2726434/HzadR4x.png)
Wiemy, że trójkąt nie jest równoramienny, więc i wyrażenie w drugim nawiasie jest niezerowe. Zatem
![b2 = a2 + ac](https://img.zadania.info/zad/2726434/HzadR6x.png)
.
Sposób III
Tym razem dorysujmy dwusieczną i oznaczmy
. Trójkąt
jest równoramienny, więc
![BD = AD = b− x.](https://img.zadania.info/zad/2726434/HzadR10x.png)
Ponadto
![∡CDB = 180∘ − ∡BDA = 2α ,](https://img.zadania.info/zad/2726434/HzadR11x.png)
więc trójkąt jest podobny do trójkąta
(mają takie same kąty). Stąd
![x a a2 --= -- ⇒ x = --- a b b b-−-x- c- ac- a = b ⇒ b − x = b .](https://img.zadania.info/zad/2726434/HzadR14x.png)
Mamy zatem
![2 ac-= b − x = b− a-- / ⋅b b b ac = b2 − a2.](https://img.zadania.info/zad/2726434/HzadR15x.png)