/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Różne

Zadanie nr 5734638

Wewnątrz trójąta ABC obrano punkt P odległy od prostych BC ,CA i AB odpowiednio o x,y ,z . Wykaż że

2 xyz ≤ 2S--, 27R

gdzie S jest polem trójkąta, a R promieniem okręgu opisanego. Dla jakich punktów P zachodzi równość?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Jaki jest związek między długościami x,y ,z a polem trójkąta? – to łatwe, trójkąt ABC jest sumą trójkątów ABP ,BCP i CAP , więc

ax+ by + cz = 2S .

Jak to zamienić na iloczyn xyz ? – stosujemy nierówność między średnimi.

∘ ------------- 3 ax-+-by-+-cz- (ax)(by )(cz ) ≤ 3 3 abcxyz ≤ 8S-. 27

Teraz pozostało skorzystać ze wzoru na pole abc S = 4R .

3 3 2 xyz ≤ 8S--⋅ -1--= 8S--⋅--1--= 2S--. 27 abc 27 4SR 27R

Kiedy w tej nierówności zajdzie równość? – równość w nierówności między średnimi zachodzi, gdy wszystkie liczby są równe, czyli dla ax = by = cz . Geometrycznie oznacza to, że pola trzech trójkątów ABP ,BCP i CAP są równe.

Wersja PDF