/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Różne

Zadanie nr 8267023

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkącie ABC , o bokach długości a,b ,c , połączono odcinkiem wierzchołek A z punktem E na boku BC takim, że BE = p i EC = q . Uzasadnij, że jeżeli d = AE , to a(d2 + pq) = b2p + c2q (twierdzenie Stewarta).

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Z twierdzeń cosinusów w trójkątach ABE i ECA mamy

{ AC 2 = AE 2 + EC 2 − 2AE ⋅EC c osφ AB 2 = AE 2 + BE 2 − 2AE ⋅BE cos(1 80∘ − φ) { b2 = d2 + q2 − 2dqco sφ 2 2 2 c = d + p + 2dp cosφ

Aby pozbyć cos φ mnożymy pierwsze równanie przez p , a drugie przez q i dodajemy stronami.

b2p + c2q = d2p + d 2q+ q2p+ p2q 2 2 2 b p + c q = d (p + q )+ pq (p + q) b2p + c2q = d2a + pqa 2 2 2 a(d + pq) = b p + c q.
Wersja PDF