Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2091404

Wykaż, że jeżeli α i β są kątami trójkąta oraz  2 2 2 sin α = sin β + sin (α + β ) to trójkąt ten jest prostokątny.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Narysujmy sobie taki trójkąt.


PIC


Sposób I

Zauważmy, że

sin ∡C = sin(180∘ − (α + β )) = sin (α+ β),

czyli na mocy twierdzenia sinusów mamy

 a a -----= 2R ⇒ sinα = --- sin α 2R --b-- -b- sin β = 2R ⇒ sin β = 2R c c -------= 2R ⇒ sin ∡C = sin(α + β) = ---. sin ∡C 2R

Zatem podany w treści warunek możemy zapisać w postaci

 a2 b2 c2 ---2 = ---2 + ---2 4R 4R 4R a2 = b2 + c2.

Zatem trójkąt jest prostokątny.

Sposób II

Tym razem pozostaniemy w krainie trygonometrii. Na mocy wzoru

cos2x = 1− 2sin2 x ⇒ 2 sin 2x = 1 − co s2x

łatwo się pozbyć kwadratów w wyjściowej równości.

 2 2 2 2 sin α = 2sin β + 2sin (α + β) 1 − cos 2α = 1 − co s2β + 2 sin 2(α+ β) cos2β − cos2α = 2sin2(α + β ) 2 − 2 sin (α+ β)sin(β − α ) = 2sin (α + β ) 2 sin (α+ β) sin(α − β) = 2 sin 2(α + β).

Skorzystaliśmy oczywiście ze wzoru na różnicę cosinusów. Ponieważ sin (α+ β) ⁄= 0 daje to nam

sin(α − β ) = sin (α+ β) sin(α + β )− sin(α − β ) = 0 2sin βco sα = 0.

Tym razem skorzystaliśmy ze zworu na różnicę sinusów. Ponieważ sin β ⁄= 0 daje to nam

 ∘ cos α = 0 ⇒ α = 90 .
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!