/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij...

Zadanie nr 2202691

Dany jest trójkąt ABC , w którym |AC | > |BC | . Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano odpowiednio takie punkty D i E , że zachodzi równość |CD | = |CE | . Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że |∡BAC | = |∡ABC |− 2 |∡AF D | .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy ∡BF E = α i ∡BEF = β .

PIC

Wiemy, że trójkąt CDE jest równoramienny, więc

∡CDE = ∡CED = ∡BEF = β ∡ACB = 180∘ − 2β ∘ ∘ ∘ ∡ABC = 180 − ∡EBF = 180 − (1 80 − α− β) = α + β ∡BAC = 180∘ − ∡ACB − ∡ABC = 180 ∘ − (1 80∘ − 2β) − (α + β) = β − α.

W takim razie rzeczywiście

∡ABC − 2∡AF D = α + β− 2α = β − α = ∡BAC .
Wersja PDF