/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij...

Zadanie nr 3187358

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Odcinki AK i BL są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC , a punkt S jest punktem ich przecięcia. Uzasadnij, że:

  • na czworokącie ABKL można opisać okrąg;
  • okręgi opisane na trójkątach ABC i ABS mają promienie równej długości.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

  • Ponieważ kąty ∡AKB i ∡BLA są proste, okrąg o średnicy AB przechodzi przez punkty K i L .
  • Oznaczmy standardowo miary kątów trójkąta (jak na obrazku). Z twierdzenia sinusów promień okręgu opisanego na trójkącie ABC spełnia:
    AB 2R = -----. sin γ

    Aby porównać ten promień z promieniem okręgu opisanego na trójkącie ABS musimy wyliczyć kąt ∡ASB . Liczymy

    ∡KAB = 90∘ − ∡KBA = 90∘ − β ∡LBA = 9 0∘ − ∡LAB = 90∘ − α ∡ASB = 1 80∘ − ∡SAB − ∡SBA = α + β = 180∘ − γ .

    Kąt ten mogliśmy też wyliczyć trochę szybciej, patrząc na czworokąt CLSK . Promień R 1 okręgu opisanego na trójkącie ABS spełnia więc

    AB AB AB 2R 1 = ---------- = --------∘----- = -----= 2R . sin∡ASB sin(18 0 − γ) sin γ
Wersja PDF