/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij...

Zadanie nr 3568386

Proste zawierające wysokości trójkąta ostrokątnego ABC przecinają boki BC , AC i AB tego trójkąta odpowiednio w punktach K , L i M . Wykaż, że jeżeli trójkąt MLK jest podobny do trójkąta ABC , to trójkąt ABC jest równoboczny.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Oznaczmy miary kątów trójkąta ABC przez α,β ,γ tak jak na powyższym rysunku. Spróbujemy wyrazić miary kątów trójkąta KLM w zależności od miar katów trójkąta ABC .

Zauważmy, że każdy z czworokątów AMHL , BMHK i CLHK ma dwa kąty proste, więc są to czworokąty, które można wpisać w okrąg (średnicami tych okręgów są odcinki AH , BH i CH ). Mamy więc na rysunku dużo różnych kątów wpisanych. Obliczmy dla przykładu miarę kąta MKL .

∡MKA = ∡MKH = ∡MBH = ∡ABL = 90− ∡BAL = 9 0∘ − α ∘ ∡LKA = ∡LKH = ∡LCH = ∡ACM = 90 − ∡CAM = 90 − α ∡LKM = ∡MKA + ∡LKA = 90∘ − α+ 90∘ − α = 18 0∘ − 2α.

Analogicznie obliczamy

∡KLM = ∡KLH + ∡MLH = ∡KCH + ∡MAH = 1 80∘ − 2β ∡LMK = ∡LMH + ∡KMH = ∡LAH + ∡KBH = 18 0∘ − 2γ.

Wiemy dodatkowo, że trójkąt MLK jest podobny do trójkąta ABC , więc mają takie same kąty. Jeżeli ponadto założymy, że np. α > β > γ , to

180∘ − 2γ > 180∘ − 2β > 180∘ − 2α.

W takim razie

( |{ 180∘ − 2γ = α ∘ | 180 − 2β = β ( 180∘ − 2α = γ .

Z drugiego równania mamy β = 6 0∘ . Wtedy

α + γ = 180 ∘ − β = 120∘

i z pierwszego równania mamy

∘ ∘ ∘ 180 = (α+ γ) + γ = 120 + γ ⇒ γ = 60 .

To oczywiście oznacza, że trójkąt ABC jest równoboczny.

Wersja PDF